0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$\{a_n\}$ bir dizi olmak üzere $\sum\limits_{n=1}^\infty|a_n|$ yakınsak bir toplam ise $$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$$ de yakınsak bir toplamdır.

1 cevap

0 oy
tarafından
Mutlak değerinin özelliği gereği her $n$ pozitif tam sayısı için $$-|a_n| \le a_n \le |a_n|$$ eşitsizliği sağlanır. Eşitsizliğe $|a_n|$ eklersek $$0\le a_n+|a_n|\le 2|a_n|$$ eşitsizliği sağlanır.

$\sum\limits_{n=1}^\infty|a_n|$ toplamı yakınsak olduğundan $2$ sabiti ile çarpımı olan $$\sum\limits_{n=1}^\infty2|a_n|$$ toplamı da yakınsak olur.

Yukarıdaki eşitsizlik ile karşılaştırma testi gereği, $$\sum\limits_{n=1}^\infty\left(a_n+|a_n|\right)$$ toplamı da yakınsak olur.

Yakınsak dizi farkların yakınsaklık özelliğinden $$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=\sum\limits_{n=1}^\infty\left[\left(a_n+|a_n|\right)-|a_n|\right]=\sum\limits_{n=1}^\infty\left(a_n+|a_n|\right)-\sum\limits_{n=1}^\infty|a_n|$$ eşitliği sağlanır ve dolayısıyla $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ toplamı da yakınsar.
...