Karşılaştırma Testi (yakınsak $\leftarrow$ yakınsak)

Question

$\{a_n\}$ negatif olmayan bir dizi olmak üzere her $n\ge 1$ için $a_n\le b_n$ eşitsizliğini sağlayan bir $\{b_n\}$ dizisi varsa ve $\sum\limits_{k=1}^\infty b_k$ toplamı yakınsak ise $$\sum\limits_{k=1}^\infty a_k$$ toplamı da yakınsak olur.

Answer 1

Her $n$ pozitif  tam sayısı için $$t_n=\sum\limits_{k=1}^n b_k$$ olarak tanımlarsak, $\{b_n\}$ dizisinin terimleri negatif olmadığından $\{t_n\}$ dizisi azalmayan bir dizi olur ve $$\lim_{n\to \infty}t_n=\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}b_k=\sum_{k=1}^{\infty}b_k := L$$ olduğundan her $n$ pozitif tam sayısı için $$t_n\le L$$ eşitsizliği sağlanır.

Her $n$ pozitif  tam sayısı için $$s_n=\sum\limits_{k=1}^\infty a_k$$ olarak tanımlarsak, $\{a_n\}$ dizisinin terimleri negatif olmadığından $\{s_n\}$ dizisi azalmayan bir dizi olur ve $a_n\le b_n$ eşitsizliği de sağlandığından her $n$ pozitif tam sayısı için $$s_n \le t_n\le L$$ eşitsizliği sağlanır.

$\left\{s_n\right\}$ dizisi azalmayan ve $L$ ile üstten sınırlı bir dizi olduğundan yakınsar; yani $$\lim_{n\to \infty}s_n=\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{k=1}^{\infty}a_k$$ limiti vardır.

Answer 2

Genel durum için:

Sav: 
$\{a_n\}$ ve $\{b_n\}$ dizileri bir $m$ pozitif tam sayısı  için $n\ge m$ olduğunda $0\le a_n\le b_n$ eşitsizliğini sağlasın. Bu durumda $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ yakınsak bir toplam ise \[ \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\] de yakınsak bir toplam olur.  

İspat:
$\{a_n\}$ ve $\{b_n\}$ dizilerinin parça toplam dizilerini sırasıyla $\{s_n\}$ ve $\{t_n\}$ olarak tanımlayalım ve $\{t_n\}$ dizisinin limitine $T$ diyelim. Ayrıca $s_m=A$ ve $t_m=B$ olarak tanımlayalım.

$n\ge m$ olduğunda $0\le a_n\le b_n$ eşitsizliğini sağlandığından \[s_n-s_m \le t_n - t_m \ \ \ \text{ yani } \ \ \ s_n \le t_n-B+A\] sağlanır. Ayrıca $\{t_n\}$ artan bir dizi olduğundan ve $T$ ile üstten sınırlı  olduğundan $n\ge m$ için \[s_n \le t_n-B+A \le T-B+A\] sağlanır ve $\{s_n\}$ üstten sınırlı  olur. Ayrıca $\{s_n\}$ artan bir dizi olduğundan monoton yakınsaklık savı  gereği yakınsar.