Karşılaştırma Testi (ıraksak $\rightarrow$ ıraksak)

Question

$\{a_n\}$ bir dizi olmak üzere her $n\ge 1$ için $b_n\le a_n$ eşitsizliğini sağlayan bir $\{b_n\}$ dizisi varsa ve $\sum\limits_{k=1}^\infty b_k$ toplamı sonsuza ıraksak ise $$\sum\limits_{k=1}^\infty a_k$$ toplamı da sonsuza ıraksak olur.

Answer 1

Her $n$ pozitif  tam sayısı için $$t_n=\sum\limits_{k=1}^n b_k \ \ \ \text{ ve } \ \ \ s_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k $$ olarak tanımlayalım.   

Her $n$ pozitif  tam sayısı için $b_n \le a_n$ olduğundan $t_n\le s_n$ eşitsizliği sağlanır. Ayrıca $$\lim_{n\to \infty}t_n=\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}b_k=\sum_{k=1}^{\infty}b_k =\infty$$ olduğundan $$\sum_{k=1}^{\infty}a_k=\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}a_k=\lim_{n\to \infty}s_n =\infty$$ de sağlanır.

Comments

Bunu biraz iyi yazmalıyım.