0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$\{a_n\}$ negatif olmayan dizi, $\{b_n\}$ pozitif dizi olsun ve bir $L\ge 0$ için \[\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}= L\] sağlansın. Bu durumda $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ yakınsak bir toplam ise \[ \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\] de yakınsak bir toplam olur.

1 cevap

0 oy
tarafından
$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}= L$ olduğundan bir $m$ pozitif tam sayısı için $n\ge m$ olduğunda \[\frac{a_n}{b_n}\le L+1 \] sağlanır; bu da bize \[0\le  a_n \le (L+1)b_n\] eşitsizliğini verir.

$L+1$ sabit olduğundan ve $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ yakınsak olduğundan  $$\sum\limits_{n=1}^\infty (L+1)b_n$$ de yakınsar.

Direkt Karşılaştırma Testi gereği \[ \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\] de yakınsar.
...