0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$\{a_n\}$ negatif olmayan dizi, $\{b_n\}$ pozitif dizi olsun ve bir $L> 0$ (sonsuz da olabilir) için \[\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}= L\] sağlansın. Bu durumda $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ ıraksak bir toplam ise \[ \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\] de ıraksak bir toplam olur.

1 cevap

0 oy
tarafından
$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}= L$ olduğundan bir $m$ pozitif tam sayısı için $n\ge m$ olduğunda  \[\frac{a_n}{b_n}\ge \frac L2 \] sağlanır; bu da bize \[0 \le (L/2)b_n \le  a_n\] eşitsizliğini verir.

Pozitif $L/2$ sabit olduğundan ve $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ sonsuza ıraksak olduğundan  $$\sum\limits_{n=1}^\infty (L/2)b_n$$ de sonsuza ıraksar.

Direkt Karşılaştırma Testi gereği \[ \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\] de sonsuza ıraksar.

--------------------------------

$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}= \infty$ olduğunda ise bir $m$ pozitif tam sayısı için $n\ge m$ olduğunda  \[\frac{a_n}{b_n}\ge 1 \] sağlanır; bu da bize \[0 \le b_n \le  a_n\] eşitsizliğini verir.

 $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ sonsuza ıraksak olduğundan  direkt Karşılaştırma Testi gereği \[ \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\] de sonsuza ıraksar.
...