$f$ fonksiyonu sınırlıdır:
Her $x\in[0,1]$ gerçel sayısı için $$0\le f(x)\le 1$$ eşitsizliği sağlandığından $f$ bir sınırlı fonksiyon olur.
Parçalar üzerinde infimum ve supremum değerleri:
$n\ge 2$ bir pozitif gerçel sayı olmak üzere $$I_1^{(n)} = \left[0,\frac13-\frac1{2n}\right], \; I_2^{(n)} = \left[\frac13-\frac1{2n},\frac13+\frac{1}{2n}\right],\; I_3^{(n)}= \left[\frac13+\frac1{2n},1\right]$$ olacak şekide $[0,1]$ aralığının aralıklardan oluşan bir $P_n=\{I_1^{(n)},I_2^{(n)},I_3^{(n)}\}$ parçalanışını alalım. Bu durumda $$\sup_{I_2^{(n)}}f=1 \ \ \ \text{ ve }\ \ \ \inf_{I_2^{(n)}}f=0$$ ve $k=1,3$ için $$\sup_{I_k^{(n)}}f=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \inf_{I_k^{(n)}}f=0$$ eşitliği sağlanır.
Parçalanışlar üzerindeki alt-üst toplam değerleri:
$P_n$ parçalanışına karşılık gelen alt ve üst toplam değeri $$L(f;P_n)=\sum_{k=1}^n\inf_{I_k^{(n)}} f\cdot |I_k^{(n)}|=0 \ \ \ \text{ ve }$$$$U(f;P_n)=\sum_{k=1}^3 \sup_{I_k^{(n)}}f\cdot |I_k^{(n)}|=1\cdot |I_2^{(n)}|=\frac1n $$ olur.
Parçalanışlar dizisinin limiti:
Her $n\ge 2$ bir pozitif gerçel sayısı için $$U(f;P_n)-L(f;P_n)=\sum_{k=1}^3\sup_{I_k^{(n)}}f\cdot |I_k^{(n)}|-\sum_{k=1}^3\inf_{I_k^{(n)}}f\cdot|I_k^{(n)}|=\frac1n$$ eşitsizliği sağlanır. Dolayısıyla $$\lim\limits_{n\to \infty}\left(U(f;P_n)-L(f;P_n)\right)=\lim\limits_{n\to \infty}\frac1n=0$$ eşitliği sağlanır.
İntegral değeri:
$\lim\limits_{n\to\infty}\left(U(f;P_n)-L(f;P_n)\right)=0$ eşitliği sağlandığından, integrallenebilmenin dizisel karakterizesi gereği, $f$ fonksiyonu Darboux integrallenebilir ve integral değeri $$\int_a^b f(x) \ dx\ = \lim\limits_{n\to\infty}L(f;P_n)=\lim\limits_{n\to\infty}0=0$$ eşitliği sağlar.