Bize verilen bilgiler $n-7$ tam sayısı $9$ ile tam bölünür, $n-3$ tam sayısı $5$ ile tam bölünür, $n-2$ tam sayısı $4$ ile tam bölünür.Bu bilgiler altında $n+2$ tam sayısı $9$, $5$ ve $4$ ile tam bölünür: $n-7$ ve $9$ tam sayıları $9$ ile tam bölündüğünden, $n-3$ ve $5$ tam sayıları $5$ ile tam bölündüğünden, $n-2$ ve $4$ tam sayıları $4$ ile tam bölündüğündentoplamları olan $n+2$ tam sayısı da bu sayılarla tam bölünür.Neden n+2 sorusunun cevabı:$n-7$ ile $9$ ve katlarını toplarsak $9$ ile bölünmeye devam eder. Her eklediğimiz $9$ için gelen sayının diğerlerine bölünüp bölünmediğini kontrol etmemiz gerekir. Bu şekilde hepsine bölünebilen uygun bir tam sayı bulabiliriz. Şanslıyız ki ilkinde buna ulaştık.Bir tam sayı $9$, $5$ ve $4$ ile tam bölünürse bunların en küçük ortak katı olan $$9\cdot 5\cdot 4=180$$ ile de tam bölünür.Bu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayı $180$ olacağından en küçük $n$ pozitif tam sayısı için de $$n+2=180$$ olur. Bu da bize verilen şartları sağlayan en küçük $n$ tam sayısının $178$ olması gerektiğini verir.
Verilenler:Modüler aritmetik ile bir cevap verecek olursak bize verilen bilgiler $n\equiv 7\mod 9$ $n\equiv 3\mod 5$ $n\equiv 2\mod 4$denklikleri sağlanır. Algoritmik olarak sonuca ulaşma:$n$ tam sayısına öyle bir sayı eklemeliyiz ki $9$, $5$ ve $4$ ile tam bölünürsün. Bunun için ilk olarak $2$ ekleyerek $9$ ile tam bölünmesini sağlayacağız. Algoritmik olarak devam etmemiz gerekse de $2$ eklediğimizde diğerleri ile de (şanslıyız ki) tam bölüyor. $n+2\equiv 7+2\equiv 0\mod 9$ $n+2\equiv 3+2\equiv 0\mod 5$ $n+2\equiv 2+2\equiv 0\mod 4$denklikleri sağlanır.Sonuca bağlama:Bir tam sayı $9$, $5$ ve $4$ ile tam bölünürse bunların ortak katı olan $$9\cdot 5\cdot 4=180$$ ile de tam bölünür. Bu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayı $180$ olacağından en küçük $n$ pozitif tam sayısı için de $$n+2=180$$ olur. Bu da bize verilen şartları sağlayan en küçük $n$ tam sayısının $178$ olması gerektiğini verir.