0 oy
Orta Öğretim kategorisinde tarafından
Bir $n$ tam sayısı $7$ çıkartılırsa $9$ ile, $3$ çıkartılırsa $5$ ile, ve $2$ çıkartılırsa $4$ ile tam bölünebimektedir. Buna özellikleri sağlayan en küçük $n$ pozitif tam sayısını bulunuz.

2 Cevaplar

0 oy
tarafından

Bize verilen bilgiler
     $n-7$ tam sayısı $9$ ile tam bölünür,
     $n-3$ tam sayısı $5$ ile tam bölünür,
     $n-2$ tam sayısı $4$ ile tam bölünür.

Bu bilgiler altında $n+2$ tam sayısı $9$, $5$ ve $4$ ile tam bölünür:
     $n-7$ ve $9$ tam sayıları $9$ ile tam bölündüğünden,
     $n-3$ ve $5$ tam sayıları $5$ ile tam bölündüğünden,
     $n-2$ ve $4$ tam sayıları $4$ ile tam bölündüğünden
toplamları olan $n+2$ tam sayısı da bu sayılarla tam bölünür.

Neden n+2 sorusunun cevabı:
$n-7$ ile $9$ ve katlarını toplarsak $9$ ile bölünmeye devam eder. Her eklediğimiz $9$ için gelen sayının diğerlerine bölünüp bölünmediğini kontrol etmemiz gerekir. Bu şekilde hepsine bölünebilen uygun bir tam sayı bulabiliriz. Şanslıyız ki ilkinde buna ulaştık.

Bir tam sayı $9$, $5$ ve $4$ ile tam bölünürse bunların en küçük ortak katı olan $$9\cdot 5\cdot 4=180$$ ile de tam bölünür.

Bu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayı $180$ olacağından en küçük $n$ pozitif tam sayısı için de $$n+2=180$$ olur. Bu da bize verilen şartları sağlayan en küçük $n$ tam sayısının $178$ olması gerektiğini verir.

0 oy
tarafından

Verilenler:
Modüler aritmetik ile bir cevap verecek olursak bize verilen bilgiler
     $n\equiv 7\mod 9$
     $n\equiv 3\mod 5$
     $n\equiv 2\mod 4$
denklikleri sağlanır.
     
Algoritmik olarak sonuca ulaşma:
$n$ tam sayısına öyle bir sayı eklemeliyiz ki  $9$, $5$ ve $4$ ile tam bölünürsün. Bunun için ilk olarak $2$ ekleyerek $9$ ile tam bölünmesini sağlayacağız. Algoritmik olarak devam etmemiz gerekse de $2$ eklediğimizde diğerleri ile de (şanslıyız ki) tam bölüyor.
    $n+2\equiv 7+2\equiv 0\mod 9$
    $n+2\equiv 3+2\equiv 0\mod 5$
    $n+2\equiv 2+2\equiv 0\mod 4$
denklikleri sağlanır.

Sonuca bağlama:
Bir tam sayı $9$, $5$ ve $4$ ile tam bölünürse bunların ortak katı olan $$9\cdot 5\cdot 4=180$$ ile de tam bölünür. Bu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayı $180$ olacağından en küçük $n$ pozitif tam sayısı için de $$n+2=180$$ olur. Bu da bize verilen şartları sağlayan en küçük $n$ tam sayısının $178$ olması gerektiğini verir.

...