0 oy
Geometri kategorisinde tarafından
$n\ge 2$ bir tam sayı olmak üzere gerçel düzlemdeki $n$ farklı çember en fazla $$n\cdot (n-1)$$ noktada kesişir.

1 cevap

0 oy
tarafından

Makul bir üst sınır bulma:
Doğrusal üç noktadan bir çember geçmez ve doğrusal olmayan üç noktadan geçen biricik bir çember vardır. Bu nedenle iki farklı çember en fazla iki noktada kesişebilir.

$n$ tane çemberden iki çember seçme sayısı $C(n,2)$ olduğundan ve farklı iki çember en fazla iki noktada kesişebildiğinden $n$ farklı çember en fazla $$2\cdot C(n,2)=2\cdot \frac{n\cdot(n-1)}{2}=n\cdot (n-1)$$noktada kesişebilir.

Peki bu üst sınır her zaman sağlanır mı?

Sağladığını göstereceğimiz çember ailesi:
Yarı çapı $n$ ve merkezleri $$(0,0),\ (1,0),\ \cdots,\ (n-1,0)$$ olan çemberlerin bu üst sınırı sağladığını gösterelim.

$n=5$ özel durumu için bu çember ailesi aşağıdaki gibi olur.

Bu çemberler iki farklı noktada kesişir:
$0\le k_1 < k_2 \le n-1$ tam sayıları için $(x_0,y_0)$ noktasının $$(x-k_1)^2+y^2=n^2 \;\;\; \text{ ve } \;\;\; (x-k_2)^2+y^2=n^2$$ denklemlerini sağladığını varsayalım. Bu noktayı denklemlere koyarsak ve taraf tarafa fark alırsak $$(x_0-k_1)^2-(x_0-k_2)^2=0 \ \ \ \text{ yani } \ \ \  (k_2-k_1)\cdot(2x_0-k_1-k_2)=0$$ eşitliği sağlanır. $k_2\ne k_1$ olduğundan $$x_0=\frac{k_1+k_2}{2}$$ eşitliği sağlanmalıdır. Bulduğumuz bu $x_0$ değerine karşılık gelen $y_0$ değerleri, birinci çemberin denklemi ile hesaplayabiliriz, $$ \sqrt{n^2-\left(\frac{k_2-k_1}{2}\right)^2}\ \ \ \text{ ya da } \ \ \ -\sqrt{n^2-\left(\frac{k_2-k_1}{2}\right)^2}$$ olur. Bu noktalar ikinci çemberin denklemini de sağlar ve kök içerisindeki ifadeler sıfıra eşit olmadığından iki farklı kesişim noktası elde etmiş oluruz.

Bu noktalardan geçen sadece iki çember vardır:

Elde ettiğimiz noktalar $x$-eksenine göre simetrik olduğundan sadece $y$ değerlerinin pozitif olduğu noktalarla ilgilenelim.

$1\le k_1<k_2 < n$ ve $1\le k_3<k_4<n$ tam sayıları için $$\left( \frac{k_1+k_2}{2}, \sqrt{n^2-\left(\frac{k_2-k_1}{2}\right)^2}  \right)=\left( \frac{k_3+k_4}{2}, \sqrt{n^2-\left(\frac{k_4-k_3}{2}\right)^2}  \right)$$ eeşitliklerinin sağlandığını varsayalım. Bu durumda $$k_1+k_2=k_3+k_4 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ k_2-k_1=k_4-k_3$$ sağlanır. Eşitlikleri taraf tarafa toplar ve çıkartırsak $$k_1=k_3 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ k_2=k_4$$ eşitliklerinin sağlandığını görürüz.

Bu da ispatı bitirir ve üst sınırı sağlayan bir çember ailesi bulmuş oluruz. 

Emrah Sercan Yılmaz'ın kişisel matematik bloğudur.

Site soru cevap formatındadır fakat blog olarak kullanıldığından soru soramaz ya da cevap veremezsiniz. Sadece bilgi almanız içindir.

Soru sormak isteyen ziyaretçiler benim de bir üyesi olduğum matkafasi.com adresinden sorularını sorabilirler.

Sitenin temel amacı güvenilebilir bir Türkçe kaynak oluşturmaktır. Bazı işlem ya da yazım hataların olması doğaldır. Lütfen bunları gördüğünüzde bana site içi iletişim ya da eposta yoluyla bildiriniz.

Katkı sağlamak isterseniz. (Eksik ya da yeni) Soru ya da cevap önerisinde bulunabilirsiniz. Lütfen LaTeX kodlarını bana iletisim.emseyi@gmail.com yoluyla (hiçbir hak talep etmediğinizi belirterek) bildiriniz.

...