Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım. Pay $1$ olduğundan kendisi basit bir biçimde duruyor. Toplamı basitleştirmek istersek paydadaki en güçlü terim olan $5^n$ ile ilgilenmeliyiz. ($5^n$ limitsel olarak $n$'ten kuvvetlidir. $\lim_{n\to \infty} n/5^n=0$.) Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı geometrik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{5^n}$$ toplamı ile ilişkilendirmiş oluruz.
Bu ilişkilendirmeyi direkt ya da limit karşılaştırma testi ile yapabiliriz. Bu başlık altında direkt karşılaştırma testini uygulayacağız.
Direkt karşılaştırma testi:
Karşılaştırma için uygun bir eşitsizlik bulma:
Her $n$ pozitif tam sayısı için $5^n+n>5^n>0$ eşitliği sağlanır ve $$0 \leq \frac{1}{5^n+n} \leq \frac{1}{5^n}$$ eşitsizliğini elde ederiz.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$\left|\dfrac15\right|<1$ eşitsizliği sağlandığından geometrik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{5}\right)^n$$ toplamı yakınsaktır.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Yukarıdaki eşitsizliği kullanırsak, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{5^n+n}$$toplamı da yakınsak olur.
Yanlış bir yol:
Her $n$ pozitif tam sayısı için $5^n+n>n>0$ eşitliği sağlanır ve $$0 \leq \frac{1}{5^n+n} \leq \frac{1}{n}$$ eşitsizliğini elde ederiz. Kıyaslamaya çalıştığımız ve terimsel bazda dizimizin terimlerinden büyük olan $\frac 1n$ dizisinin toplam dizisi ıraksaktır. Büyük olan ıraksak olduğunda küçük olan için direkt karşılaştırma testi ile bir sonuca varamayız.