Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım. Toplamı basitleştirmek istersek payda $1$ basit bir biçimde duruyor. Paydadaki ifadenin iç kısmındaki ifadeler sınırlı olduklarından, üstten $1+(-1)+(-1)+3$ ile sınırlıdır. Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı terimleri $1/2^n$ olan toplamla ilişkilendirmiş oluruz.
Direkt karşılaştırma testi için aday:
Her $n$ pozitif tam sayısı için $-1<\cos n,\sin n$ ve $1=2^0<2^{1/n}$ eşitsizlikleri sağlanır, ve \begin{equation}\label{eq}0 \leq \dfrac{1}{(2^{1/n}+\sin n+\cos n+3)^n}\leq \dfrac{1}{(1+(-1)+(-1)+3)^n}=\left(\frac12\right)^n\end{equation} eşitsizliğini elde ederiz.
İstenen toplamın yakınsaklığı:
$|1/2|< 1$ olduğundan geometrik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n$$ toplamı yakınsak olur.
Bu toplam yakınsak olduğundan ve Eşitlik \eqref{eq} sağlandığından, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{(2^{1/n}+\sin n+\cos n+3)^n}$$ toplamının yakınsak olur.