Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
$\sqrt[3]n$ ile $\log_2(n^2)$ arasındaki ilişkiyi kullanarak $p$-toplamları ile ilişkilendireceğiz.
Limitsel bir ilişki ve elde edilebilen bir eşitsizlik:
$2\log_2x$ ile $\sqrt[3]x$ arasındaki limit ilişkisini incelersek \begin{align*}\lim_{x \to \infty}\dfrac{ 2\log_2x }{x^{1/3}} \ &\stackrel{l'h}{=} \ \lim\limits_{x \to \infty}\frac{2\log_2e \cdot x^{-1}}{\frac13x^{-2/3}} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{x \to \infty}\frac{2\log_2e}{x^{1/3}}\\[15pt] &= \ 0\end{align*} eşitliği sağlanır.
Limit tanımını, $\epsilon=1$ için kullanırsak, bir $N$ gerçel sayısı için (bunu tam sayı olarak seçebiliriz) $x\ge N$ sağlandığında $$\dfrac{ 2\log_2x }{x^{1/3}} \le 1 \ \ \ \text{ yani } \ \ \ \log_2(x^2) \le \sqrt[3]x$$ eşitsizliği sağlanır.
Direkt karşılaştırma testi için bir eşitsizlik:
Her pozitif $n\ge N$ tam sayısı için $\log_2(n^2)\le \sqrt[3]n$ eşitsizliği sağlanır ve \begin{equation}\label{eq}0\le \dfrac1{2^{\sqrt[3]n}}\le \dfrac1{2^{\log_2 n^2}}=\frac1{n^2}\end{equation}eşitsizliğini elde ederiz.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=2> 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği yakınsar.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan ve Eşitlik \eqref{eq} sağlandığından, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac1{2^{\sqrt[3]n}}$$ toplamı yakınsak olur.