Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
İfadeyi $e^{\ln n}=n$ eşitliğini kullanarak $p$-toplamları ile ilişkilendirebiliriz.
Direkt karşılaştırma testi için bir eşitsizlik:
Her $n>e^{e^2}$ pozitif tam sayısı için $\ln n \ge e^2$ sağlanır ve \begin{align*}(\ln n)^{\ln n}\ge (e^2)^{\ln n}=e^{2\ln n}=e^{\ln (n^2)}=n^2\end{align*} eşitsizliğini elde ederiz. Bu eşitsizlik de bize \begin{equation}\label{eq}0\le\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}\le \frac1{n^2} \end{equation}eşitsizliğini verir.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığısaklığı:
$p=2> 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği yakınsar.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan ve Eşitlik \eqref{eq} sağlandığından, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$$ toplamı yakınsak olur.