Birkaç türev alma ve başa dönme:
Her $x$ gerçel sayısı için $$\sin^\prime x=\cos x\ \ \ \text{ ve } \ \ \ \cos^\prime x =-\sin x$$ eşitlikleri sağlanır. Bu eşitlikleri kullanırsak \begin{align*}f^\prime(x) \ &= \ \phantom{-} \cos x \\[10pt]f^{\prime\prime}(x) \ &= \ -\sin x \\[10pt]f^{\prime\prime\prime}(x) \ &= \ -\cos x \\[10pt]f^{(4)}(x) \ &= \ \phantom{-}\sin x \end{align*} eşitliklerini elde ederiz.
Döngüzellik fikri:
$f^{(4)}=f$ eşitliği sağlandığından ve $f$, $f^\prime$, $f^{\prime\prime}(x)$ ve $f^{\prime\prime\prime}(x)$ fonksiyonlarını bildiğimizden döngüsel/modüler olarak $\sin$ fonksiyonunun tüm türevlerini bulabiliriz.
Türevleri bulma:
Bu bilgiler ile $k\ge 0$ bir tam sayı olmak üzere $$f^{(n)}(x)=\begin{cases}\phantom{-}\sin x, &n=4k\\ \phantom{-}\cos x, &n=4k+1\\ -\sin x, &n=4k+2\\ -\cos x, &n=4k+3\end{cases}$$ eşitliği sağlanır.
Az durumla yazma:
İsteğe bağlı olarak bu türevler, $k\ge 0$ bir tam sayı olmak üzere, $$f^{(n)}(x)=\begin{cases}(-1)^k\cdot \sin x, &n=2k\\ (-1)^k\cdot \cos x, &n=2k+1\end{cases}$$ olarak verilebilir.