Birkaç türev alma:
Fonksiyonun kuralını $$f(x)=(1-x)^{-1}$$ olarak yazalım ve zincir kuralı kullanarak birkaç türevini bulalım. Zincir kuralı ile\begin{alignat*}{3}f^\prime(x)\ &= \ (-1)(1-x)^{-1-1}\cdot (-1) \ &&= \ (1-x)^{-2} \\[10pt]f^{\prime\prime}(x)\ &= \ (-2)(1-x)^{-2-1}\cdot (-1) \ &&= \ 2\cdot (1-x)^{-3} \\[10pt]f^{\prime\prime\prime}(x)\ &= \ 2\cdot (-3)(1-x)^{-3-1}\cdot (-1) \ &&= \ 6\cdot (1-x)^{-4} \\[10pt]f^{(4)}(x)\ &= \ 6\cdot (-4)(1-x)^{-4-1}\cdot (-1) \ &&= \ 24 \cdot (1-x)^{-5}\end{alignat*} eşitliklerini elde ederiz.
Düzen için bir fikir:
Bulduğumuz türevlerin makul ilerlemesine bakarsak, her $n$ pozitif tam sayısı için $$f^{(n)}(x)=n!\cdot (1-x)^{-(n+1)}$$ eşitliği sağlanmalıdır.
Tümevarım ile bu fikri doğrulama:
İlk türev (ve hatta dördüncü türeve kadar) bu eşitlik sağlanıyor. Bir $k\ge 1$ pozitif tam sayısı için sağlandığını kabul edersek \begin{align*}f^{(k+1)}(x)\ &= \ \frac d{dx}f^{(k)}(x)\\[17pt] &= \ \frac d{dx}\left[k!\cdot (1-x)^{-(k+1)}\right]\\[17pt] &= \ k!\cdot -(k+1)(1-x)^{-(k+1)-1}\cdot (-1)\\[17pt] &= \ (k+1)!\cdot (1-x)^{-((k+1)+1)}\end{align*} eşitliği sağlanır. Bu da ispatı tümvarım yolu ile bitirir.