$(x^2+x+1)^{100}$ polinomunun türevi

Question

$f:\mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonunu kuralı $$f(x)=(x^2+x+1)^{100}$$ olmak üzere $f$ fonksiyonunun türevini bulunuz.

Answer 1

Zincir kuralına uygun yazma:
$f$ fonksiyonunun kuralını $$f(x)=\left(x^2+x+1\right)^{100}=\underbrace{\left(x^{100}\right)}_{f_2(x)}\circ\underbrace{\left(x^2+x+1\right)}_{f_1(x)}$$ olarak yazabiliriz. 

Zincir kuralını uygulama:
Kuralı $x^2+x+1$ ve $x^{100}$ olan fonksiyonlar gerçel sayılar üzerinde türevlenebilir fonksiyonlardır ve türevleri sırası ile $2x+1$ ve $10x^{99}$ fonksiyonlarıdır. Zincir kuralı gereği bu fonksiyonların bileşkesi olan $f$ fonksiyonu da gerçel sayılar üzerinde türevlenebilir ve  \begin{align*}f^\prime(x)\ &= \ \underbrace{(2x+1)}_{f_1^\prime(x)}\cdot \underbrace{100\left(x^2+x+1\right)^{100-1}}_{f_2^\prime(f_1(x))}\\[15pt] &=\ 100\cdot (2x+1)\cdot (x^2+x+1)^{99}\end{align*} eşitliği sağlanır.