+1 oy
Türev kategorisinde tarafından
$$\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{\sin^5\left(\dfrac\pi2+3h\right)-1}{2h}$$ limitini bulunuz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Türevin limit tanımını kullanarak verebileceğimiz bir cevap:

$f:\begin{cases}\mathbb R\to\mathbb R\\ x \mapsto \sin^5 x \end{cases}$ fonksiyonunun türevinin kuralı, zincir kuralı ile, $$f^\prime(x)=5\sin^4 x\cdot \cos x$$ olduğundan $t=3h$ değişimi ile türevin limit tanımını kullanırsak \begin{align*}0=5\sin^4 \frac\pi2\cdot \cos  \frac\pi2\ &= \ f^\prime\left(\frac\pi2\right)\\[17pt] &= \ \lim\limits_{t\to 0} \frac{\sin^5\left(\dfrac\pi2+t\right)-\sin \left(\dfrac\pi2\right)}{t}\\[17pt] &= \ \lim\limits_{h\to 0} \frac{\sin^5\left(\dfrac\pi2+3h\right)-1}{3h}\end{align*} eşitliğini elde ederiz. Bu eşitliği kullanırsak $$\lim\limits_{h\to 0} \frac{\sin^5\left(\dfrac\pi2+3h\right)-1}{2h}=\lim\limits_{h\to 0}\left[ \frac32\cdot \frac{\sin^5\left(\dfrac\pi2+3h\right)-1}{3h}\right]=\frac32\cdot 0=0$$ eşitliğini elde ederiz.

...