+1 oy
Limit kategorisinde tarafından
$f:[0,1] \to[0,1]$ sürekli bir fonksiyon ise bir $c\in[0,1]$ değeri için $$f(c)=c$$ eşitliğinin sağlandığını gösteriniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Ara değer savına uygun bir fonksiyon seçme:
$g:[0,1] \to\mathbb R$ fonksiyonunu kuralı $$g(x)=f(x)-x$$ olacak şekilde tanımlarsak bir $c\in[0,1]$ değeri için $$g(c)=f(c)-c=0$$ eşitliğinin sağlandığını göstermemiz gerekir.

$g$ fonksiyonu sürekli fonksiyonların farkı olduğundan $g$ fonksiyonu da süreklidir.

Bariz iki durum:
$f(0)=0$ ya da $f(1)=1$ ise hali hazırda bir sabit noktamız vardır.

Bu durumların dışında:
$f(0)\ne 0$ ve $f(1)\ne 1$ olduğu durumda $f$ fonksiyonunun görüntü kümesi $[0,1]$ olduğundan $$0<f(0) \ \ \ \text{ ve } \ \ \ f(1)<1$$ eşitsizliklerine sahip oluruz.

g fonksiyonu ile ilişkilendirme:
Bu şartlar altında $$g(0)=f(0)-0>0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ g(1)=f(1)-1<0$$ olur.

Ara değer savını kullanma:
Sürekli $g$ fonksiyonunu için $g(0)$ pozitif ve $g(1)$ negatif değer aldığından, Ara Değer Savı gereği, bir $c\in[0,1]$ değeri için $$g(c)=0 \ \ \ \text { yani } \ \ \ f(c)=c$$ eşitliği sağlanır.

...