$y=\sin (x+y)$ ise $y^\prime$ türevini bulunuz.

Question

$y$, $x$ değişkenine bağlı türevlenebilir bir fonksiyon ve $$y=\sin (x+y)$$ ise $y^\prime$ türevini bulunuz.

Answer 1

Verilen eşitliğin türevini alırsak $$y^\prime =\cos(x+y)\cdot (1+y^\prime)$$ eşitliği sağlanır. Biraz düzenleme yaparsak, tanımlı olmayı bozmadan, \begin{align*}y^\prime =&\cos(x+y)\cdot (1+y^\prime) \\[17pt] &\iff \quad y^\prime =\cos(x+y)+\cos(x+y)\cdot y^\prime\\[17pt]&\iff \quad y^\prime-\cos(x+y)\cdot y^\prime =\cos(x+y)\\[17pt]&\iff \quad y^\prime\cdot(1-\cos(x+y))=\cos(x+y)\\[17pt]&\iff \quad y^\prime=\frac{\cos(x+y)}{1-\cos(x+y)}\end{align*} eşitliği sağlanır.