Öncelikle sinüs fonksiyonu için limitin var olmadığını gösterelim.
Kullanılacak temel bilgi:
$k$ bir tam sayı olmak üzere $$\sin \left(\frac{\pi}2+k\pi\right)=1 \ \ \ \text { ve } \ \ \ \sin \left(-\frac{\pi}2+k\pi\right)=-1$$ eşitliği sağlanır.
Limit varlığını kabul etme:
Diyelim ki bir $L$ gerçel sayısı için $$\lim\limits_{x\to\infty }\sin x=L$$ eşitliği sağlanıyor.
Limit tanımı ile çelişki elde etme:
Limit var olduğundan ve $L$ değerine eşit olduğundan bir $M$ değeri için $x>M$ olduğunda $$|\sin x -L|<1$$ eşitsizliği saglanır.
Temel bilgiyi kullanma aşaması:
Bir $k$ pozitif tam sayısı vardır ki $$\frac{\pi}2+k\pi >M \ \ \ \text{ ve } \ \ \ -\frac{\pi}2+k\pi>M$$ eşitsizlikleri sağlanır ve $$|1-L|<1 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ |-1-L|<1$$ eşitsizliklerini elde ederiz.
Çelişki elde etme:
Bu eşitsizlikleri kullanırsak \begin{align*}2\ &= \ |2| \\[10pt] &= \ |(1-L)+(1+L)|\\[10pt] &\le \ |1-L|+|1+L|\\[10pt] &< \ 1+1 \\[10pt] &= \ 2 \end{align*} eşitsizliği bir çelişki verir.
Sonuç:
Demek ki kabulümüz yanlıştır; yani $$\lim\limits_{x\to\infty }\sin x$$ limiti yoktur.
Kosinüs fonksiyonu için limitin var olmadığını gösterelim.
Limit varlığını kabul etme:
Diyelim ki bir $M$ gerçel sayısı için $$\lim\limits_{x\to\infty }\cos x=M$$ eşitliği sağlanıyor.
Çelişki elde etme:\begin{align*}M \ &= \ \lim\limits_{x\to\infty }\cos x \\[10pt] &= \ \lim\limits_{x\to\infty }\cos \left(x+\frac\pi2\right) \\[10pt] &= \ \lim\limits_{x\to\infty }\sin x \end{align*} eşitliği gereği $\sin$ fonksiyonunun sonsuzda limiti olmalıdır. Fakat üstte gösterdiğimiz üzere bu limit değeri olmadığından bir çelişki elde ederiz.
Sonuç:
Demek ki kabulümüz yanlıştır; yani $$\lim\limits_{x\to\infty }\cos x$$ limiti yoktur.