sinh fonksiyonunun exp ile verilen tanımı:
Her $x$ gerçel sayısı için $$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$ eşitliği sağlanır.
Limit alma:
$\sinh$ fonksiyonunun $\exp$ ile verilen tanımını kullanalım. $\infty/\infty$ belirsizliği var. Bu belirsizliği gidermek için payı ve paydayı $e^x$ parantezine alalım ve sadeleştirelim. Sonsuzda $x/e^{x}$, $1/e^x$ ve $1/e^{2x}$ limitlerinin sıfıra gittiğini kullanarak limit değerini bulalım. Bu yol ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\sinh x}{e^x+2x+1} \ &= \ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{\dfrac12\cdot \left(e^x-e^{-x}\right)}{e^x+2x+1}\\[17pt]&= \ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{e^x-e^{-x}}{2e^x+4x+2}\\[17pt]&= \ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{e^x\cdot \left(1-e^{-2x}\right)}{e^x\cdot \left(2+4\cdot\dfrac x{e^x}+2\cdot \dfrac1{e^x}\right)}\\[17pt]&= \ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{1-e^{-2x}}{2+4\cdot\dfrac x{e^x}+2\cdot \dfrac1{e^x}}\\[17pt]&= \ \frac{1-0}{2+4\cdot 0 +2\cdot 0}\\[17pt]&= \ \frac12\end{align*}eşitliğini elde ederiz.