0 oy
Türev kategorisinde tarafından
$$f(x)=\frac{x^2+12x+9}{3x}$$ kuralı ile verilen $f:\mathbb R\setminus\{0\} \to \mathbb R$ fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Eksenleri kestiği noktalar:
y eksenini kestiği nokta:
$0$ noktası $f$ fonksiyonunun tanım kümesinde olmadığından $y$-eksenini kesen bir nokta olamaz.

x eksenini kestiği noktalar:
$f$ fonksiyonu pay sıfır değerini aldığında sıfırlanır; yani  \begin{align*}x^2+12x+9=0 \ & \iff  \ (x+6)^2-27=0\\[10pt]&\iff  \ (x+6)^2=27\\[10pt]&\iff\ x+6=\pm3\sqrt 3 \\[10pt]&\iff\ x=-6\pm3\sqrt 3 \end{align*}  olduğunda $f$ fonksiyonu sıfır değerini alır.

Sıfır civarında limit:
Bu limit değerleri \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{x^2+12x+9}{3x}\ = \ \lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac x3+4+\frac3x\right)= \ \infty\end{align*} ve \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{x^2+12x+9}{3x}\ = \ \lim\limits_{x\to -\infty}\left(\frac x3+4+\frac3x\right)= \ -\infty\end{align*}olur.

Sonsuzlarda limit:
Bu limit değerleri \begin{align*}\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x^2+12x+9}{3x}\ = \ \lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac x3+4+\frac3x\right)= \ \infty\end{align*} ve \begin{align*}\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{x^2+12x+9}{3x}\ = \ \lim\limits_{x\to -\infty}\left(\frac x3+4+\frac3x\right)= \ -\infty\end{align*}olur.

Doğrusal asimptot:
\begin{align*}\lim\limits_{x\to \pm\infty}\left(f(x)-\left(\frac x3+4\right)\right)\ = \ \lim\limits_{x\to \pm \infty}\frac3x= \ 0\end{align*} olduğundan $$y=\frac x3+4$$ doğrusu sonsuzlarda $f$ fonksiyonunun doğrusal asimptotu olur.

Fonksiyon kuralını türev için güzelleme:
Sıfır olmayan her $x$ gerçel sayısı için $$f(x) \ = \ \frac{x^2+12x+9}{3x}\ = \ \frac x3+4+\frac3x$$ eşitliği sağlanır.

Birinci türev:
$f$ fonksiyonunun birinci türevin kuralı sıfır olmayan gerçel sayılar üzerinde \begin{align*}f^\prime(x) \ & =\ \frac{1}{3}-\frac3{x^2} \\[10pt]&= \ \frac{x^2-9}{3x}\end{align*} olur.

Not: Birinci türevin sıfırlarını bulmak için son ifade kullanışlı olsa da ikinci türevi bulmak için bir önceki ifade daha kullanışlı.

Birinci türevin sıfır olduğu noktalar:
Birinci türev $x^2-9=0$; yani $$x=\pm3$$ olduğunda sıfır değerini alır.

İkinci türev:
$f$ fonksiyonunun ikinci türevin kuralı sıfır olmayan gerçel sayılar üzerinde \begin{align*}f^{\prime\prime}(x) \ & = \ \frac6{x^3}\end{align*} olur.

İkinci türevin sıfır olduğu noktalar:
 Payda hiçbir zaman sıfır olmayacağından ikinci türev hiçbir noktada sıfır değerini almaz.

Birinci ve ikinci türev ile gelen tabloyu oluşturma:

Fonksiyonun grafiği:

...