+1 oy
Limit kategorisinde tarafından
$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2\cos  x -\cos 2x-1 }{x^2}$$ limitini bulunuz.

3 Cevaplar

0 oy
tarafından
$0/0$ belirsizliği var. Her $x$ gerçel sayısı için $\cos 2x=2\cos^2x-1$ eşitliği sağlandığını kullanarak payı $2\cdot \cos x\cdot (1-\cos x)$ olarak yazabiliriz. $0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ olduğunu kullanabilmek için payı ve paydayı limiti sıfır olmayan $1+\cos x$ ile çarpalım. $1-\cos^2x$ yerine $\sin^2x$ yazarak limit değerini bulalım. Bu yol ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2\cos  x -\cos 2x-1 }{x^2} \ &= \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{2\cos x-(2\cos^2x-1)-1}{x^2}\\[17pt]&= \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{2\cdot \cos x-2\cos^2x}{x^2}\\[17pt]&= \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{2\cdot \cos x\cdot (1-\cos x)}{x^2}\\[17pt]&= \ \lim\limits_{x\to 0}\left[\frac{2\cos x\cdot (1-\cos x)}{x^2}\cdot \frac{1+\cos x}{1+\cos x}\right]\\[17pt]&= \ \lim\limits_{x\to 0}\left[2\cdot \cos x\cdot \frac{1-\cos^2 x}{x^2}\cdot \frac{1}{1+\cos x}\right]\\[17pt]&= \ \lim\limits_{x\to 0}\left[2\cdot \cos x\cdot \frac{\sin^2 x}{x^2}\cdot \frac{1}{1+\cos x}\right]\\[17pt]&= \ \lim\limits_{x\to 0}\left[2\cdot \cos x\cdot \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \cdot \frac{1}{1+\cos x}\right]\\[17pt]&= \ 2\cdot \cos 0\cdot 1^2\cdot \frac1{1+\cos 0}\\[17pt]&= \ 1\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
0 oy
tarafından
İki kere l'Hôpital kuralını kullanırsak\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2\cos  x -\cos 2x-1 }{x^2} \ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{-2\sin x +2\sin 2x }{2x}\\[17pt]&\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{-2\cos x+4\cos 2x}{2}\\[17pt]&= \ \frac{-2\cdot \cos 0+4\cdot \cos(2\cdot 0)}{2}\\[17pt]&= \ 1\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
0 oy
tarafından
$0/0$ belirsizliği var. Bir kere l'Hôpital kuralını kullanalım ve ifadeyi $0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ olduğunu kullanacak şekilde düzenleyelim. Bu yol ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2\cos  x -\cos 2x-1 }{x^2} \ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{-2\sin x +2\sin 2x }{2x}\\[17pt]&= \ \lim\limits_{x\to 0}\left(-\frac{\sin x}x+2\cdot \frac{\sin2x}{2x}\right)\\[17pt]&= \ -1+2\cdot 1\\[17pt]&= \ 1\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
...