Yöntem:
$1^\infty$ belirsizliği var. Fonksiyonun $\ln$ içindeki hali ile ilgilenelim ve $\exp$ fonksiyonunun sürekliliği ile asıl fonksiyonun limitini bulalım.
ln alma:
Fonkisyonun $\ln$ içerisindeki limitine bakarsak\begin{align*}\lim\limits_{x\to 1^+} \ln\left(x^{\frac1{x-1}}\right)&=\ \lim\limits_{x\to 1^+}\left(\frac1{x-1}\cdot \ln x\right) \\[17pt]&=\ \lim\limits_{x\to 1^+}\frac{\ln x}{x-1} \\[17pt]&\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{x^{-1}}{1}\\[17pt]&=\ \lim\limits_{x\to 1^+}\frac1x\\[17pt]&= \ \frac11\\[17pt] &= \ 1\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
exp alma:
$\exp$ fonksiyonu gerçel sayılar üzerinde, özel olarak $1$ noktasında sürekli olduğundan, \begin{align*}\lim\limits_{x\to 1^+}x^{\frac1{x-1}}\ &= \ \lim\limits_{x\to 1^+}\exp\left[\ln \left(x^{\frac1{x-1}}\right)\right]\\[17pt] &=\ \exp(1)\\[17pt] &=\ e\end{align*} eşitliği sağlanır.