Yöntem:
$1^\infty$ belirsizliği var. Fonksiyonun $\ln$ içindeki hali ile ilgilenelim ve $\exp$ fonksiyonunun sürekliliği ile asıl fonksiyonun limitini bulalım.
ln alma:
Fonkisyonun $\ln$ içerisindeki limitine bakarsak\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0} \ln\left((1+\sin x)^{\frac1{x}}\right)&=\ \lim\limits_{x\to 0}\left(\frac1{x}\cdot \ln(1+\sin x)\right) \\[17pt]&=\ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+\sin x)}{x} \\[17pt]&\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x\cdot (1+\sin x)^{-1}}{1}\\[17pt]&=\ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\cos x}{1+\sin x}\\[17pt]&= \ \frac{\cos 0}{1+\sin 0}\\[17pt] &= \ 1\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
exp alma:
$\exp$ fonksiyonu gerçel sayılar üzerinde, özel olarak $1$ noktasında sürekli olduğundan, \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0}(1+\sin x)^{\frac1{x}}\ &= \ \lim\limits_{x\to 0}\exp\left[\ln \left((1+\sin x)^{\frac1{x}}\right)\right]\\[17pt] &=\ \exp(1)\\[17pt] &=\ e\end{align*} eşitliği sağlanır.