0 oy
Limit kategorisinde tarafından
$A\subseteq \mathbb R$ olmak üzere $f,g,h: A \to \mathbb R$ fonksiyonlar, $a$ ve $L$ gerçel sayılar olsun. Bir $\delta_1>0$ için $0<|x-a|<\delta_1$ ve $x\in A$ olduğunda $$g(x) \le f(x) \le h(x)$$ eşitsizliği sağlansın. $g$ ve $h$ fonksiyonlarının $a$ noktasındaki limiti değeri $L$ ise $$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$$ eşitliği sağlanır.

2 Cevaplar

0 oy
tarafından
Bir $\epsilon>0$ alalım.

(1)  $g$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limit değeri $L$ olduğundan, limit tanımı gereği, $\epsilon/3>0$ (seçimi) için öyle $\delta_2>0$ değeri vardır ki  $0<|x-a|<\delta_2$ ve $x\in A$ olduğunda $$|g(x)-L|<\dfrac{\epsilon}{3}$$ eşitsizliği sağlanır.

(2) $h$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limit değeri $L$ olduğundan, limit tanımı gereği, $\epsilon/3>0$ (seçimi) için öyle $\delta_3>0$ değeri vardır ki  $0<|x-a|<\delta_3$ ve $x\in A$ olduğunda $$|h(x)-L|<\dfrac{\epsilon}{3}$$ eşitsizliği sağlanır.

$\delta=\min\{\delta_1,\delta_2 ,\delta_3\}>0$ olarak seçelim. $0<|x-a|<\delta$ ve $x\in A$ olduğunda$$|g(x)-L|<\dfrac{\epsilon}{3},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;  |h(x)-L|<\dfrac{\epsilon}{3}$$$$\;\;\;\text{ ve }\;\;\; g(x) \le f(x) \le h(x)$$ sağlanır. Dolayısıyla $0<|x-a|<\delta$ ve $x\in A$ olduğunda \begin{align*}{\color{blue}{|f(x)-L|}}&=|(f(x)-g(x))+(g(x)-L)|\\[7pt]&\le|f(x)-g(x)|+|g(x)-L|\\[7pt]&\le |h(x)-g(x)|+|g(x)-L|\\[7pt]& = |(h(x)-L)+(L-g(x))|+|g(x)-L|\\[7pt]&\le |h(x)-L|+|g(x)-L|+|g(x)-L|\\[7pt]&{\color{blue}<} \epsilon/3+\epsilon/3+\epsilon/3\\[7pt]&={\color{blue}\epsilon} \end{align*} eşitsizliği sağlanır.
0 oy
tarafından

Sorunun İndirgenmiş Hali:
$A\subseteq \mathbb R$ olmak üzere $f,F: A \to \mathbb R$ fonksiyonlar ve $a$ bir gerçel sayı olsun. Bir $\delta_1>0$ için $0<|x-a|<\delta_1$ ve $x\in A$ olduğunda $$0 \le f(x) \le F(x)$$ eşitsizliği sağlansın. $F$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limiti $0$ ise $$\lim\limits_{x\to a}f(x)=0$$ eşitliği sağlanır.

İndirgenmiş halinin ispatı:

Bir $\epsilon>0$ alalım.

$F$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limit değeri $0$ olduğundan, limit tanımı gereği, $\epsilon>0$ (seçimi) için öyle $\delta_2>0$ değeri vardır ki  $0<|x-a|<\delta_2$ ve $x\in A$ olduğunda $$|F(x)-0|<\epsilon$$ eşitsizliği sağlanır.

$\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}>0$ olarak seçelim. $0<|x-a|<\delta$ ve $x\in A$ olduğunda $$|F(x)-0|<\epsilon \;\;\;\text{ ve }\;\;\; 0 \le f(x) \le F(x)$$ eşitsizlikleri sağlanır.  Dolayısıyla $0<|x-a|<\delta$ ve $x\in A$ olduğunda $$|f(x)-0|=f(x)\le F(x)=|F(x)-0|<\epsilon$$ eşitsizliği sağlanır.

Bu bilgiyi kullanarak genel halinin ispatı:
$0<|x-a|<\delta_1$ ve $x\in A$ olduğunda $0\le (f-g)(x) \le (h-g)(x)$ eşitsizliği sağlanıyor. 

(1) $g$ ve $h$ fonksiyonlarının $a$ noktasındaki limiti $L$ olduğundan, limitin fark özelliği gereği,  $$\lim\limits_{x\to a}(h-g)(x)=L-L=0$$ eşitliği sağlanır.

(2) İngirgenmiş haliden gelen sonuç ile $$\lim\limits_{x\to a}(f-g)(x)=0$$ eşitliği sağlanır.

(3) Limitin toplam özelliğinden $$\lim\limits_{x\to a}f(x)=\lim\limits_{x\to a}\left(g+(f-g)\right)(x)=L+0=L$$ eşitliği sağlanır.

...