+1 oy
Limit kategorisinde tarafından
$$ \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sqrt{3+\cos x}-2}{1-\cos^2(\pi x)}$$ limitini bulunuz.

1 cevap

0 oy
tarafından

$1-\cos^2(\pi x)$ yerine $\sin^2(\pi x)$ yazalım. Payı ve paydayı limiti $0$ olmayan $\sqrt{3+\cos x}+2$ ile çarpalım ve ifadeyi düzenleyelim. \begin{align*} \lim\limits_{x\to 0} \frac{\sqrt{3+\cos x}-2}{1-\cos^2(\pi x)}&=\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sqrt{3+\cos x}-2}{\sin^2(\pi x)}\\[22pt]&=\lim\limits_{x\to 0} \left[\dfrac{\sqrt{3+\cos x}-2}{\sin^2(\pi x)}\cdot \dfrac{\sqrt{3+\cos x}+2}{\sqrt{3+\cos x}+2}\right]\\[22pt]&=\lim\limits_{x\to 0}\left[ \dfrac{(3+\cos x)-2^2}{\sin^2(\pi x)}\cdot \dfrac1{\sqrt{3+\cos x}+2}\right]\\[22pt]&=\lim\limits_{x\to 0} \left[\dfrac{1-\cos x}{\sin^2(\pi x)}\cdot \dfrac{-1}{\sqrt{3+\cos x}+2}\right]\end{align*}Payı ve paydayı limiti $0$ olmayan $1+\cos x$ ile çarpalım ve  $1-\cos^2 x$ yerine $\sin^2 x$ yazarak ifadeyi düzenleyelim. \begin{align*} &=\lim\limits_{x\to 0} \left[\dfrac{1-\cos x}{\sin^2(\pi x)}\cdot \dfrac{-1}{\sqrt{3+\cos x}+2}\cdot\frac{1+\cos x}{1+\cos x}\right]\\[22pt]&=\lim\limits_{x\to 0}\left[\dfrac{1-\cos^2 x}{\sin^2(\pi x)}\cdot\frac{-1}{(\sqrt{3+\cos x}+2)\cdot(1+\cos x)}\right]\\[22pt] &=\lim\limits_{x\to 0}\left[\dfrac{\sin^2x}{\sin^2(\pi x)}\cdot\frac{-1}{(\sqrt{3+\cos x}+2)\cdot(1+\cos x)}\right]\end{align*}$0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ eşit olduğunu kullanacak şekilde ifadeyi düzenleyelim ve limit değerini bulalım. Bu yöntem ile \begin{align*}&=\lim\limits_{x\to 0} \left[\frac{1}{\pi^2}\cdot  \left(\frac{\pi x}{\sin (\pi x)}\right)^2\cdot \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\cdot \dfrac{-1}{(\sqrt{3+\cos x}+2)\cdot(1+\cos x)}\right]\\[22pt]&=\frac{1}{\pi^2}\cdot (1^{-1})^2\cdot 1^2\cdot \frac{-1}{(\sqrt{3+\cos 0}+2)(1+\cos 0)}\\[22pt]&=-\frac{1}{8\pi^2}\end{align*} eşitliğini elde ederiz.

__________________________

Kullanılan bir bilgi:
$u$ fonksiyonu $a$'nın bir civarında sıfır fonksiyon olmasın ve $\lim\limits_{x\to a} u(x)=0$ sağlansın. Bu durumda $$\lim\limits_{x\to a} \dfrac{\sin u(x)}{u(x)}=1$$eşitliği sağlanır.

Bu bilgiyi $a=0$ ile $u(x)=\pi x$ kurallı $u: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonu için kullandık. 

...