Payı ve paydayı limiti $0$ olmayan $\sqrt{3x+1}+\sqrt{4x-2}$ ile çarpalım. $0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ eşit olduğunu kullanacak şekilde ifadeyi düzenleyelim ve limit değerini bulalım. Bu yöntem ile \begin{align*} \lim\limits_{x\to 3}& \dfrac{\sin (x-3)}{\sqrt{3x+1}-\sqrt{4x-2}}\\[12pt]&=\lim\limits_{x\to 3} \left[\dfrac{\sin (x-3)}{\sqrt{3x+1}-\sqrt{4x-2}}\cdot \dfrac{\sqrt{3x+1}+\sqrt{4x-2}}{\sqrt{3x+1}+\sqrt{4x-2}}\right]\\[12pt]&=\lim\limits_{x\to 3} \left[\dfrac{\sin (x-3)}{(3x+1)-(4x-2)}\cdot (\sqrt{3x+1}+\sqrt{4x-2})\right]\\[12pt]&=\lim\limits_{x\to 3}\left[ \dfrac{\sin (x-3)}{3-x}\cdot (\sqrt{3x+1}+\sqrt{4x-2})\right]\\[12pt]&=\lim\limits_{x\to 3} \left[-\dfrac{\sin (x-3)}{x-3}\cdot (\sqrt{3x+1}+\sqrt{4x-2})\right]\\[12pt]&=-1\cdot (\sqrt{3\cdot 3+1}+\sqrt{4\cdot 3-2})\\[12pt]&=-2\sqrt{10}\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
_________________________
Kullanılan bir bilgi:
$u$ fonksiyonu $a$'nın bir civarında sıfır fonksiyon olmasın ve $\lim\limits_{x\to a} u(x)=0$ sağlansın. Bu durumda $$\lim\limits_{x\to a} \dfrac{\sin u(x)}{u(x)}=1$$eşitliği sağlanır.
Bu bilgiyi $a=3$ ile $u(x)=x-3$ kurallı $u: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonu için kullandık.