Polinom kesiri tekniğini kullanabilmek için limit içerisindeki ifadeyi $\cos x$ cinsinden ifade etmeye çalışalım. Bunun için $$\cos(2x)=2\cos^2x-1$$ eşitliğini kullanacağız. Bunu limit içerisindeki payı düzenlemek için kullanırsak bu ifadenin \begin{align*}\cos(2x)-1 &=2\cos^2x-2\\[5pt] &=2\cdot(\cos^2 x-1 )\\[5pt] &= 2\cdot(\cos x-1)\cdot(\cos x+1)\end{align*} olduğunu görürüz. Bu eşitliği limitimizin içerisinde kullanırsak \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0}\frac{\cos(2x)-1}{\cos x-1}&=\lim\limits_{x\to 0} \frac{2\cdot(\cos x-1)\cdot(\cos x+1)}{\cos x-1}\\[11pt]&=\lim\limits_{x\to 0} \left( \ 2\cdot(\cos x+1) \ \right)\\[11pt]&=2\cdot(\cos(0)+1)\\[11pt]&=4\end{align*}eşitliğini buluruz.