0 oy
Limit kategorisinde tarafından
Limitin $\epsilon-\delta$ tanımını kullarak aşağıdaki önermeyi ispatlayınız.

$f:\mathbb R/\{-2\} \to \mathbb R$ fonksiyonunun kuralı $f(x)=\dfrac1{x+2}$ olarak verilsin. \[\lim_{x \to 2}f(x)=\frac14\] eşitliği sağlanır.

1 cevap

0 oy
tarafından

Kurmamız gereken cümlenin kalıbı:
Verilen $\epsilon>0$ için $\delta= \cdots >0$ seçersek $0<|x-2|<\delta$ olduğunda $$\left|f(x)-\frac14\right|= \cdots <\epsilon$$ sağlanır.

Yapmamız gereken:
Alt boşluğu doldurarak eşitsizliği delta seçimine uygun bir forma getirmektir ve bu uygun form ile uygun deltayı seçmektir. İşleri kolaylaştırmak adına deltayı üstten $1$ ile sınırlayacağız.

Alt boşluğu doldurma:
Verilen $\epsilon>0$ için $\delta=\min\left\{1, \cdots\right\}  >0$ seçersek $0<|x-2|<\delta$ olduğunda \begin{align*}\left|f(x)-\frac14\right|&= \left|\frac{1}{x+2}-\frac14\right|\\[11pt]&= \left|\frac{4-(x+2)}{4(x+2)}\right|\\[11pt]&=\left|\frac{2-x}{4(x+2)}\right|\\[11pt]&=\frac14\cdot |x-2|\cdot \frac1{|x+2|}\\[11pt]&=\frac14\cdot|x-2|\cdot \frac1{|4-(2-x)|}\\[11pt]&< \frac14\cdot \delta\cdot\frac1{4-\delta}\\[11pt]&\le \frac14\cdot \delta\cdot\frac1{4-1}\\[11pt]&= \frac\delta{12}\end{align*} sağlanır.

Uygun deltayı seçme:
İsteğimiz $\left|f(x)-\frac14\right|<\epsilon$ olduğunu göstermektir. Elimizde $\left|f(x)-\frac14\right|< \frac\delta{12}$ eşitsizliği var. Bu eşitsizliği kullanabilmek için \[\delta \le12\epsilon\] olacak şekilde bir seçimini yapabiliriz. 

$\delta=\min\left\{1,12\epsilon\right\}$ seçimine göre ispat:
Verilen $\epsilon>0$ için $\delta=\min\left\{1,12\epsilon\right\}>0$ seçersek $0<|x-2|<\delta$ olduğunda \begin{align*}\left|f(x)-\frac14\right|&= \left|\frac{1}{x+2}-\frac14\right|\\[11pt]&= \left|\frac{4-(x+2)}{4(x+2)}\right|\\[11pt]&=\left|\frac{2-x}{4(x+2)}\right|\\[11pt]&=\frac14\cdot |x-2|\cdot \frac1{|x+2|}\\[11pt]&=\frac14\cdot|x-2|\cdot \frac1{|4-(2-x)|}\\[11pt]&< \frac14\cdot \delta\cdot\frac1{4-\delta}\\[11pt]&\le \frac14\cdot \delta\cdot\frac1{4-1}\\[11pt]&= \frac\delta{12}\\[11pt]&\le\epsilon\end{align*} sağlanır.

...