Kullanacağımız kilit bilgi:
$n$ bir tam sayı olmak üzere $n\ge 2$ sağlanırsa $$0 \le \frac 2n\le 1$$ eşitsizliği sağlanır.
Bu bilgiden elde edeceğimiz çıkarım:
$n\ge 2$ ise $$0 \le \frac{2^n}{n!} \le \frac4n$$ eşitsizliği sağlanır.
Çıkarımın hafif görsel gösterimi:
$n\ge 2$ tam sayıları için $$0\le\frac{2^{n}}{n!}=\frac{2}{1}\cdot\underbrace{ \left(\frac{2}{2}\cdot\frac23\cdots\frac{2}{n-1}\right)}_{\le 1}\cdot\frac2{n} \le \frac{4}{n} $$ eşitliği sağlanır.
Bu 'ispat' üzerine not:
Bu yol ispat olarak kabul görür.
Bunun yerine çarpım sembolü kullanabilirsiniz.
Bu çıkarımı tümevarım yolu ile (aşağıda verdiğimiz gibi) ispatlayabilirsiniz.
Çıkarımın tümevarımsal ispatı:
$n=2$ olduğunda verilen eşitliğin sağlandığını $n$ yerine $2$ yazarak gösterebilirsiniz. Bir $n \ge 2$ için sağlandığını varsayarsak $$0 \le \frac{2^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{2^n}{n!}\cdot \frac{2}{n+1} \le \frac4n\cdot \frac n{n+1} = \frac4{n+1}$$ eşitsizliği sağlanır. Bu da ispatı tümevarım yolu ile bitirir.
Bu çıkarımı kullanarak limitin değerini bulma:
$n\ge 2$ ise $$0 \le \frac{2^n}{n!} \le \frac4n$$ eşitsizliği sağlanır. Bu eşitsizliğin sağ ve sol uçlarındaki limitleri incelersek $$\lim\limits_{n\to \infty} 0=\lim\limits_{n\to \infty} \frac4n=0$$ eşitliği sağlanır. Bu iki uç limitlerin değeri eşit olduğundan, Sıkıştırma savı gereği, $$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{2^n}{n!}=0$$ eşitliği sağlanır.