0 oy
Limit kategorisinde tarafından
Limitin $\epsilon-\delta$ tanımını kullarak aşağıdaki önermeyi ispatlayınız.

$f:\mathbb R/\{3\} \to \mathbb R$ fonksiyonunun kuralı $f(x)=\dfrac{x+1}{3-x}$ olarak verilsin. \[\lim_{x \to 1}f(x)=1\] eşitliği sağlanır.

1 cevap

0 oy
tarafından

Kurmamız gereken cümlenin kalıbı:
Verilen $\epsilon>0$ için $\delta= \cdots >0$ seçersek $0<|x-1|<\delta$ olduğunda $$\left|f(x)-1\right|= \cdots <\epsilon$$ sağlanır.

Yapmamız gereken:
Alt boşluğu doldurarak eşitsizliği delta seçimine uygun bir forma getirmektir ve bu uygun form ile uygun deltayı seçmektir. İşleri kolaylaştırmak adına deltayı üstten $1$ ile sınırlayacağız.

Alt boşluğu doldurma:
Verilen $\epsilon>0$ için $\delta=\min\left\{1, \cdots\right\}  >0$ seçersek $0<|x-1|<\delta$ olduğunda \begin{align*}\left|f(x)-1\right|&= \left|\dfrac{x+1}{3-x}-1\right|\\[11pt]&= \left|\frac{(x+1)-(3-x)}{3-x}\right|\\[11pt]&=\left|\frac{2x-2}{3-x}\right|\\[11pt]&=2\cdot |x-1|\cdot \frac1{|3-x|}\\[11pt]&=2\cdot|x-1|\cdot \frac1{|2-(x-1)|}\\[11pt]&< 2\cdot \delta\cdot\frac1{2-\delta}\\[11pt]&\le 2\cdot \delta\cdot\frac1{2-1}\\[11pt]&= 2\delta\end{align*} sağlanır.

Uygun deltayı seçme:
İsteğimiz $\left|f(x)-1\right|<\epsilon$ olduğunu göstermektir. Elimizde $\left|f(x)-1\right|< 2\delta$ eşitsizliği var. Bu eşitsizliği kullanabilmek için \[\delta \le \epsilon/2\] olacak şekilde bir seçimini yapabiliriz. 

$\delta=\min\left\{1,\epsilon/2\right\}$ seçimine göre ispat:
Verilen $\epsilon>0$ için $\delta=\min\left\{1,\epsilon/2\right\}>0$ seçersek $0<|x-1|<\delta$ olduğunda \begin{align*}\left|f(x)-1\right|&= \left|\dfrac{x+1}{3-x}-1\right|\\[11pt]&= \left|\frac{(x+1)-(3-x)}{3-x}\right|\\[11pt]&=\left|\frac{2x-2}{3-x}\right|\\[11pt]&=2\cdot |x-1|\cdot \frac1{|3-x|}\\[11pt]&=2\cdot|x-1|\cdot \frac1{|2-(x-1)|}\\[11pt]&< 2\cdot \delta\cdot\frac1{2-\delta}\\[11pt]&\le 2\cdot \delta\cdot\frac1{2-1}\\[11pt]&= 2\delta\\[11pt]& \le \epsilon\end{align*} sağlanır.

...