+1 oy
Limit kategorisinde tarafından
$a$ bir gerçel sayı olmak üzere $$\lim\limits_{x\to 7} \frac{5-\sqrt{x^2+a}}{x-7}$$ limiti var olduğuna göre $a$ değerini bulunuz.

1 cevap

0 oy
tarafından

(1) Verilen limit var olduğundan, bu değere $L$ diyelim, ve $\lim\limits_{x\to 7}(x-7)=0$ olduğundan, limitlerin çarpımı özelliği ile, $$\lim\limits_{x\to 7} \left(5-\sqrt{x^2+a}\right)=\lim\limits_{x\to 7} \left[\dfrac{5-\sqrt{x^2+a}}{x-7}\cdot (x-7)\right]=L\cdot0=0$$ eşitliği sağlanır.

(2) $\lim\limits_{x\to 7} \left(5-\sqrt{x^2+a}\right)=0$ ve $\lim\limits_{x\to 7} 5=5$ olduğundan, limitlerin farkı özelliği ile, $$\lim\limits_{x\to 7}\sqrt{x^2+a}=\lim\limits_{x\to 7} \left(5-(5-\sqrt{x^2+a})\right)=5-0=5$$eşitliği sağlanır.

(3) $\lim\limits_{x\to 7} \sqrt{x^2+a}=5$ olduğundan, limitlerin çarpımı ya da tam kuvveti özelliği ile, $$\lim\limits_{x\to 7}(x^2+a)=\lim\limits_{x\to 7} (\sqrt{x^2+a})^2=5^2=25$$eşitliği sağlanır.

(4) Polinomlar sürekli olduğundan ve $\lim\limits_{x\to 7}(x^2+a)=25$ olduğundan $$7^2+a=25 \ \ \ \text{ yani } \ \ \ a=-24$$ eşitliği sağlanır.

...