$0/0$ tipi belirsizliğimiz var. $\cos 2x$ yerine $\cos^2 x-\sin^2$ ve $\cot x$ yerine $\cos x/\sin x$ yazalım ve ifadeyi düzenleyelim.\begin{align*} \lim\limits_{x\to \frac\pi4} \cfrac{\cos 2x}{\cot x-1}\ &= \ \lim\limits_{x\to \frac\pi4} \cfrac{\cos^2 x-\sin^2x}{\cfrac{\cos x}{\sin x}-1}\\[20pt]&= \ \lim\limits_{x\to \frac\pi4} \cfrac{\cos^2 x-\sin^2x}{\cfrac{\cos x-\sin x}{\sin x}}\\[20pt]&= \ \lim\limits_{x\to \frac\pi4} \left(\frac{\cos^2 x-\sin^2x}{\cos x-\sin x}\cdot \sin x\right)\end{align*}$\cos^2 x-\sin^2x$ ifadesini $(\cos x-\sin x)\cdot (\cos x+\sin x)$ olarak çarpanlara ayıralım ve $\cos x-\sin x$ sadeleştirmesi yaparak limit değerini bulalım. Bu yol ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to \frac\pi4} &\left(\frac{\cos^2 x-\sin^2x}{\cos x-\sin x}\cdot \sin x\right)\\[20pt] &= \ \lim\limits_{x\to \frac\pi4} \left(\frac{(\cos x-\sin x)\cdot (\cos x+\sin x)}{\cos x-\sin x}\cdot \sin x\right)\\[20pt]&= \ \lim\limits_{x\to \frac\pi4} \left((\cos x+\sin x)\cdot \sin x\right)\\[20pt]&= \ \left(\cos \frac\pi4+\sin \frac\pi4\right)\cdot \sin \frac\pi4\\[20pt]&=1\end{align*}eşitliğini elde ederiz.