$0/0$ tipi belirsizliğimiz var. $\sec x$ yerine $\cos^{-1}x$ yazalım ve ifadeyi düzenleyelim.\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0^-} \frac{\sqrt{\sec x-1}}{\sin x}\ &= \ \lim\limits_{x\to 0^-} \left(\sqrt{\frac{1}{\cos x}-1}\cdot \frac{1}{\sin x}\right)\\[20pt]&= \ \lim\limits_{x\to 0^-} \left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{\cos x}}\cdot \frac{1}{\sin x}\right)\\[20pt]&= \ \lim\limits_{x\to 0^-} \left(\frac{\sqrt{1-\cos x}}{\sin x}\cdot \frac{1}{\sqrt{\cos x}}\right) \end{align*} Limiti sıfır olan kökten kurtulmak için ifadeyi $\sqrt{1+\cos x}$ ifadesi ile çarpıp bölelim. $1-\cos^2x$ yerine $\sin^2x$ yazarak kökten kurtulalım. $\sin x$ sadeleştirmesi yaparak belirsizlikten kurtulalım ve limit değerini bulalım. Bu yol ile \begin{align*}&= \ \lim\limits_{x\to 0^-} \left( \frac{\sqrt{1-\cos x}}{\sin x}\cdot \frac{\sqrt{1+\cos x}}{\sqrt{1+\cos x}}\cdot \frac{1}{\sqrt{\cos x}}\right)\\[20pt] &= \ \lim\limits_{x\to 0^-} \left( \frac{\sqrt{1-\cos^2 x}}{\sin x}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+\cos x}}\cdot \frac{1}{\sqrt{\cos x}}\right)\\[20pt]&= \ \lim\limits_{x\to 0^-} \left( \frac{\sqrt{\sin^2 x}}{\sin x}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+\cos x}}\cdot \frac{1}{\sqrt{\cos x}}\right)\\[20pt]&= \ \lim\limits_{x\to 0^-} \left( \frac{|\sin x|}{\sin x}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+\cos x}}\cdot \frac{1}{\sqrt{\cos x}}\right)\\[20pt]&= \ \lim\limits_{x\to 0^-} \left( \frac{-\sin x}{\sin x}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+\cos x}}\cdot \frac{1}{\sqrt{\cos x}}\right)\\[20pt]&= \ \lim\limits_{x\to 0^-} \left(-1\cdot \frac{1}{\sqrt{1+\cos x}}\cdot \frac{1}{\sqrt{\cos x}}\right)\\[20pt]&= \ -1\cdot \frac{1}{\sqrt{1+\cos 0}}\cdot \frac{1}{\sqrt{\cos 0}}\\[20pt]&= \ -\frac12 \end{align*}eşitliğini elde ederiz.