$0/0$ tipi belirsizliğimiz var. $0$ noktası civarındaki bilgilerimizi kullanabilmek için $t=x+\pi$ dönüşümü uygulayalım. \begin{align*}\lim\limits_{x\to -\pi} \frac{\sin 3x+\sin 2x}{\sin 3x-\sin 2x}\ &= \ \lim\limits_{t\to 0} \frac{\sin 3(t-\pi)+\sin 2(t-\pi)}{\sin 3(t-\pi)-\sin 2(t-\pi)}\\[15pt]&= \ \lim\limits_{t\to 0} \frac{-\sin 3t+\sin 2t}{-\sin 3t-\sin 2t}\end{align*}Payı ve paydayı $t$ ile bölelim. $0$ noktasında $t^{-1}\sin t$ limitinin $1$ eşit olduğunu kullanacak şekilde ifadeyi düzenleyelim ve limit değerini bulalım. Bu yol ile \begin{align*}&= \ \lim\limits_{t\to 0} \cfrac{-\sin 3t+\sin 2t}{-\sin 3t-\sin 2t}\\[20pt]&= \ \lim\limits_{t\to 0} \cfrac{-\cfrac{\sin 3t}{t}+\cfrac{\sin 2t}{t}}{-\cfrac{\sin 3t}{t}-\cfrac{\sin 2t}{t}}\\[20pt]&= \ \lim\limits_{t\to 0} \cfrac{-3\cdot \cfrac{\sin 3t}{3t}+2\cdot \cfrac{\sin 2t}{2t}}{-3\cdot \cfrac{\sin 3t}{3t}-2\cdot \cfrac{\sin 2t}{2t}}\\[20pt]&= \ \frac{-3\cdot 1+2\cdot 1}{-3\cdot1-2\cdot 1}\\[20pt]&= \ \frac15\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
_____________________________
Kullanılan bir bilgi:
$u$ fonksiyonu $a$'nın bir civarında sıfır fonksiyon olmasın ve $\lim\limits_{t\to a} u(t)=0$ sağlansın. Bu durumda $$\lim\limits_{t\to a} \dfrac{\sin u(t)}{u(t)}=1$$eşitliği sağlanır.
Bu bilgiyi $a=0$ ile $u_1(t)=2t$ ve $u_2(t)=3t$ kurallı $u_1,u_2: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonları için kullandık.