$\lim\limits_{x\to -2} \dfrac{x^2+ax+2}{x^2+x-2}$ ise $a$ değeri

Question

$a$ bir gerçel sayı olmak üzere $$\lim\limits_{x\to -2} \frac{x^2+ax+2}{x^2+x-2}$$ limiti var olduğuna göre $a$ değerini bulunuz.

Answer 1

Var olan $\lim\limits_{x\to -2} \dfrac{x^2+ax+2}{x^2+x-2}$ limitine $\ell$ diyelim.

Paydadan kurtulma:
Ayrıca $\lim\limits_{x\to -2}(x^2+x-2)=0$ olduğundan, limit çarpımı özelliği ile,$$\lim\limits_{x\to -2}(x^2+ax+2)=\lim\limits_{x\to -2}\left(\frac{x^2+ax+2}{x^2+x-2}\cdot(x^2+x-2) \right)=\ell \cdot 0=0$$ eşitliği sağlanır.

Polinom sürekliliği ile a değerini bulma:
$a$ gerçel sayısı için $x^2+ax+2$ bir gerçel polinom olduğundan ve polinomlar sürekli olduğundan $$(-2)^2+a\cdot (-2)+2=\lim\limits_{x\to -2}(x^2+ax+2)=0$$ eşitliği sağlanır. Buradan $6-2a=0$, yani $a=3$ eşitliğini elde ederiz.