$a=b$ olduğunda eşitsizlik eşitlik olarak sağlanır. Verilen ifade $a$ ile $b$ değerleri yer değiştirdiğinde aynı kaldığından $b>a$ olduğunu kabul ederek ispatı tamamlayabiliriz.
$\sin$ fonksiyonu $[a,b]$ kapalı aralığında sürekli ve $(a,b)$ açık aralığında türevlenebilir olduğundan, ortalama değer savı gereği, bir $c\in (a,b)$ değeri için $$\frac{\sin b - \sin a}{b-a}=\sin^\prime c=\cos c$$ eşitliği sağnaır. $|\cos x|\le 1$ her $x$ gerçel sayısı için sağlandığından $$\left|\frac{\sin b - \sin a}{b-a}\right|=|\cos c|\le 1$$ eşitsizliği sağlanır. Eşitsizliği pozitif $|b-a|$ değeri ile çarparsak $$|\sin b - \sin a| \le |b-a|$$ eşitliğini elde ederiz.