Ortalama değer savını Hatırlayalım:
$b>a$ gerçel sayılar olmak üzere $f:[a,b]\to \mathbb R$ fonksiyonu sürekli ve $(a,b)$ aralığı üzerinde türevlenebilir ise $(a,b)$ aralığındaki bir $c$ değeri için $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^\prime(c)$$ eşitliği sağlanır.
Ortalama Değer Savını neden uygulayamayız:
$\tan$ fonksiyonunun $[0,\pi]$ aralığında sürekli olduğunu söylememiz gerekli fakat $\tan$ fonksiyonu $\pi/2$ noktası için tanımsızdır. Bu nedenle ortalama değer savını $\tan$ fonksiyonuna uç noktalar $0$ ve $\pi$ olduğunda uygulayamayız.
Sorunun içeriğini anlama:
Ön koşullar atlandığında çeşitli sorunlar yaşıyabiliyoruz. Soruda da buna değiniliyor.
(1) $\tan$ fonksiyonunun tanımlı olduğu $x$ değerleri için $\tan^\prime x=\sec^2 x\ge 1$ eşitsizliği sağlanır. Bu nedenle $\tan$ fonksiyonunun türev değeri hiçbir zaman sıfır olmaz.
(2) Ön koşulları atlayıp ortalama değer savını $\tan$ fonksiyonununa $[0,\pi]$ aralığı üzeride (!) uygulamaya kalkarsak bir $c\in (0,\pi)$ için $$0=\frac{\tan(\pi)-\tan(0)}{\pi-0}=\tan^\prime(c)=\sec^2 c\ge 1$$ eşitliği sağlanmalı. Üst madde içeriğinden bu mümkün değildir.