$\lim\limits_{ x \to 0} \dfrac1{x^2}=\infty$ olması ($\epsilon-\delta$ tanımı)

Question

Limitin $\epsilon-\delta$ tanımınının uyarlamasını kullarak aşağıdaki önermeyi ispatlayınız.

$f:\mathbb R\setminus\{0\} \to \mathbb R$ fonksiyonunun kuralı $f(x)=\dfrac1{x^2}=\infty$ olarak verilsin. \[\lim_{x \to 0}f(x)=\infty\] eşitliği sağlanır.

Answer 1

Kurmamız gereken cümlenin kalıbı:
Verilen $M$ gerçel sayısı için $\delta= \cdots >0$ seçersek $0<|x-0|<\delta$ olduğunda $$f(x)= \cdots >M$$ sağlanır.

Yapmamız gereken:
Alt boşluğu doldurarak eşitsizliği delta seçimine uygun bir forma getirmektir ve bu uygun form ile uygun deltayı seçmektir. $M$ için bir alt sınır oluşturmamızda teknik bir sorun olmadığından kolaylık olsun diye $M>0$ seçelim.

Alt boşluğu doldurma:
Verilen  $M>0$ gerçel sayısı için $\delta=\cdots  >0$ seçersek $0<|x-0|<\delta$ olduğunda \begin{align*}f(x)&= \dfrac1{x^2}= \dfrac1{|x|^2}=\left(\dfrac1{|x|}\right)^2>\delta^2\end{align*} sağlanır. 

Uygun deltayı seçme:
İsteğimiz $f(x)>M$ olduğunu göstermektir. Elimizde $f(x)> \delta^2$ eşitsizliği var. Bu eşitsizliği kullanabilmek için \[\delta = \sqrt{M}\] seçimini yapabiliriz. ($M$ değerlerine pozitif kısmda bakmak işlerimizi bu noktada kolaylaştırmış oldu.) 

$\delta= \sqrt{M}$ seçimine göre ispat:
Verilen $M>0$ gerçel sayısı için $\delta= \sqrt{M}>0$ seçersek $0<|x-0|<\delta$ olduğunda \begin{align*}f(x)&= \dfrac1{x^2}= \dfrac1{|x|^2}=\left(\dfrac1{|x|}\right)^2>\delta^2=M\end{align*} sağlanır.