Amaca uygun bir fonksiyon tanımlama:
$f:\mathbb R_{\ge-1}\to \mathbb R$ fonksiyonunu kuralı $$f(x)=1+\frac x2-\sqrt{1+x}$$ olacak şekilde tanımlayalım. Amacımız her $x\in \mathbb R_{\ge-1}$ değeri için $f(x)\ge 0$ olduğunu göstermektir.
Türev ile ilgilenme:
$f$ fonksiyonunun türev kuralı $$f^\prime(x)=0+\frac12-\frac1{2\sqrt{1+x}}=\frac12\left(1-\frac1{\sqrt{1+x}}\right)$$ olur.
(a) $x=0$ için türev değeri sıfır olur.
(b) $-1<x<0$ için türev değerleri negatif olur.
(c) $x>0$ için türev değerleri pozitif olur.
(b) ve ortalama değer savı gereği fonksiyonu $[-1,0]$ üzerinde azalan olur. (c) ve ortalama değer savı gereği fonksiyonu $[0,\infty)$ üzerinde artan olur. Bu iki bilgi bize $f$ fonksiyonun $0$ noktasında en küçük değer alacağını verir.
Sonuç:
Her $x\in \mathbb R_{\ge-1}$ değeri için $$f(x)\ge f(0)=1-\frac02-\sqrt{1+0} =0$$ eşitsizliği sağlandığından istenen $$\sqrt{1+x}\le 1+\frac x2$$ eşitsizliği sağlanır.