Fonksiyon toplamları için infimum ve supremum ilişkisi:
$S$ kümesi $[a,b]$ kapalı aralığının boş olmayan bir alt kümesi olsun. Bu durumda $$\inf_{S}(f+g)\ge \inf_Sf+\inf_Sg\;\;\;\text{ ve }\;\;\;\sup_S(f+g)\le \sup_Sf+\sup_S g$$ eşitsizlikleri sağlanır.
Aynı parçalanış üzerinde $f$, $g$ ve $f+g$ fonksiyonlarının alt-üst toplam ilişkisi:
$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere $[a,b]$ aralığının aralıklardan oluşan bir $P=\{I_1,\cdots,I_n\}$ parçalanışını alalım. Bu $P$ parçalanışı için\begin{alignat*}{1}L(f+g;P)\ &= \ \sum_{k=1}^n\inf_{I_k}(f+g)\cdot |I_k|\\[15pt]&\ \ge \ \sum_{k=1}^n(\inf_{I_k}f+\inf_{I_k}g)\cdot |I_k|\\[15pt]&=\ \sum_{k=1}^n\inf_{I_k}f\cdot |I_k|+\sum_{k=1}^n\inf_{I_k}g\cdot |I_k|\\[15pt]\ &=\ L(f;P)+L(g;P)\end{alignat*} ve \begin{alignat*}{1}U(f+g;P)\ &= \ \sum_{k=1}^n\sup_{I_k}(f+g)\cdot |I_k|\\[15pt]\ &\le \ \sum_{k=1}^n(\sup_{I_k}f+\sup_{I_k}g)\cdot |I_k|\\[15pt] &=\ \sum_{k=1}^n\sup_{I_k}f\cdot |I_k|+\sum_{k=1}^n\sup_{I_k}g\cdot |I_k|\\[15pt]\ &= \ U(f;P)+U(g;P)\end{alignat*} eşitsizlikleri sağlanır.
$f$, $g$ ve $f+g$ fonksiyonlarının alt toplam ilişkisi:
$\epsilon>0$ verilsin. $L(f)$ ve $L(g)$ değerlerinin tanımı gereği, sırasıyla, $[a,b]$ kapalı aralığının öyle $P$ ve $Q$ parçalanışları vardır ki ki $$L(f;P)>L(f)-\epsilon/2\ \ \ \text{ ve }$$$$ L(g;Q) >L(g)-\epsilon/2$$ eşitsizlikleri sağlanır. $R$ parçalanışı $P$ ve $Q$ parçalanışlarının bir inceltmesi olsun. Bu durumda $$L(f;R)\ge L(f;P)>L(f)-\epsilon/2\ \ \ \text{ ve }$$$$L(g;R) \ge L(g;P)>L(g)-\epsilon/2$$olur. Dolayısıyla \begin{align*}L(f+g) &\ge L(f+g;R)\\[10pt]&\ge L(f;R)+L(g;R)\\[10pt]&>L(f)+L(g)-\epsilon\end{align*}eşitsizliği sağlanır. Bulduğumuz eşitsizlik her $\epsilon >0$ için sağlandığından $$L(f+g) \ge L(f)+L(g)$$ eşitsizliğini elde ederiz.
$f$, $g$ ve $f+g$ fonksiyonlarının üst toplam ilişkisi:
$\epsilon>0$ verilsin. $U(f)$ ve $U(g)$ değerlerinin tanımı gereği, sırasıyla, $[a,b]$ kapalı aralığının öyle $P$ ve $Q$ parçalanışları vardır ki ki $$U(f;P)<U(f)+\epsilon/2\ \ \ \text{ ve }$$$$ U(g;Q) <U(g)+\epsilon/2$$ eşitsizlikleri sağlanır. $R$ parçalanışı $P$ ve $Q$ parçalanışlarının bir inceltmesi olsun. Bu durumda $$U(f;R)\le U(f;P)<U(f)+\epsilon/2\ \ \ \text{ ve }$$$$U(g;R) \le U(g;P)<U(g)+\epsilon/2$$olur. Dolayısıyla \begin{align*}U(f+g) &\le U(f+g;R)\\[10pt]&\le U(f;R)+U(g;R)\\[10pt]&<U(f)+U(g)+\epsilon\end{align*}eşitsizliği sağlanır. Bulduğumuz eşitsizlik her $\epsilon >0$ için sağlandığından $$U(f+g) \le U(f)+U(g)$$ eşitsizliğini elde ederiz.
$f+g$ fonksiyonunun Darboux integrallenebilmesi ve integral değeri:
$f$ ve $g$ fonksiyonu Darboux integrallenebildiğinden $L(f)=U(f)$ ve $L(g)=U(g)$ eşitliği sağlanır. Üst eşitsizlikler gereği $$L(f)+L(g)\le L(f+g)\le U(f+g) \le U(f)+U(g)$$ eşitsizliğini elde ederiz ve eşitsizliğin uç ifadeleri eşit olduğundan eşitlik elde ederiz. Bu nedenle $L(f+g)\le U(f+g)$ eşitliği sağlanır ve tanım gereği $f+g$ fonksiyonunun Darboux integrallenebildiğini göstermiş oluruz. Ayrıca $f+g$ fonksiyonunun integral değeri \begin{align*}\int_a^b(f+g)(x)\ dx\ &=\ U(f+g)\ \\[10pt]&=\ U(f)+U(g)\ \\[10pt]&= \ \int_a^bf(x)\ dx \ + \ \int_a^bg(x)\ dx\end{align*} eşitliğini sağlar.