+1 oy
İntegral kategorisinde tarafından
$f: [0,1] \to \mathbb R$ fonksiyonu $$f(x)=\begin{cases}0, &x \ne 0 \text{ ise, }\\1, & x =0 \text{ ise. }\end{cases}$$kuralı ile verilsin. $f$ fonksiyonunun, varsa, Darboux integralini bulunuz.

1 cevap

0 oy
tarafından

$f$ fonksiyonu sınırlıdır:
Her $x\in[0,1]$ gerçel sayısı için $$0\le f(x)\le 1$$ eşitsizliği sağlandığından $f$ bir sınırlı fonksiyon olur.

Parçalar üzerinde infimum ve supremum değerleri:
$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere $[0,1]$ aralığının aralıklardan oluşan bir $P=\{I_1,\cdots,I_n\}$ parçalanışını alalım ve $0<x_1\le 1$ bir gerçel sayı olmak üzere $I_1=[0,x_1]$ olarak yazalım. Bu durumda $$\sup_{I_1}f=1 \ \ \ \text{ ve }\ \ \ \inf_{I_1}f=0$$ ve $k=2,\cdots,n$ tam sayıları için $$\sup_{I_k}f=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \inf_{I_k}f=0$$ eşitliği sağlanır.

Parçalanışlar üzerindeki alt-üst toplam değerleri:
$P$ parçalanışına karşılık gelen alt ve üst toplam değeri $$L(f;P)=\sum_{k=1}^n\inf_{I_k}f\cdot |I_k|=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ U(f;P)=\sum_{k=1}^n\sup_{I_k}f\cdot |I_k|=1\cdot |I_1|=x_1  $$ olur.  

Alt-üst toplam değerleri:
$\mathcal P$ kümesini $[0,1]$ kapalı aralığının tüm parçalanışları kümesi olarak tanımlayalım. Bu durumda $$ L(f)=\sup \{ L(f,P) \:|\:P \in \mathcal P \}=\sup \ \{ 0 \}=0\ \ \ \text{ ve }$$ $$U(f)=\inf \{ U(f,P) \:|\:P \in \mathcal P\}=\inf \{ x_1 \: | \: 0<x_1\le 1 \}=0$$  eşitlikleri sağlanır.

İntegral değeri:
$U(f)=L(f)=0$eşitliği sağlandığından $f$ fonksiyonu Darboux integrallenebilir ve integral değeri $$\int_a^b f(x) \ dx\ = 0$$ eşitliği sağlar.

...