+1 oy
İntegral kategorisinde tarafından
$b>a$ gerçel sayıları için $f:[a,b] \to \mathbb R$ bir sınırlı fonksiyon olsun. $f$ fonksiyonu Darboux integrallenebilir ancak ve ancak verilen $\epsilon>0$ için $[a,b]$ aralığının öyle bir $P$ parcalanışı vardır ki $$U(f;P)-L(f;P) < \epsilon$$ eşitsizliği sağlanır.

1 cevap

0 oy
tarafından

İspatlayacağımız yön için kabul:
Verilen $\epsilon>0$ için $$U(f;P_{\epsilon})-L(f;P_\epsilon) < \epsilon$$  şartını sağlayan bir $P_\epsilon$ parçalanışının olduğunu kabul edelim.

İspat için kullanışlı bir araç:
$[a,b]$ aralığının her $P$ parçalanışı için  $$U(f) \le U(f;P) \;\;\; \text{ ve } \;\;\; L(f,P) \le L(f)$$ eşitsizlikleri sağlandığından $$0 \le U(f)-L(f)  \le U(f;P)-L(f;P)$$ eşitsizliği de sağlanır.

Bu yön için ispat:
Verilen $\epsilon>0$ için $$0 \le U(f)-L(f)  \le U(f;P_{\epsilon})-L(f;P_\epsilon) < \epsilon$$ eşitsizliği sağlanır. $0 \le U(f)-L(f)< \epsilon$ eşitsizliği her pozitif $\epsilon$ için sağlandığından $U(f)=L(f)$ eşitliği sağlanır ve tanım gereği $f$ fonksiyonu Darboux integrallenebilir.

___________________________________

İspatlayacağımız yön için kabul:
$f$ fonksiyonu Darboux integrallenebilir olduğunu kabul edelim.

Bu yön için ispat:
$f$ fonksiyonu Darboux integrallenebilir olduğundan $L(f)=U(f)$ eşitliği sağlanır. Alt-üst toplam tanımı gereği, verilen $\epsilon>0$ için $[a,b]$ aralığının öyle $Q$ ve $R$ parçalanışları vardır ki $$U(f;Q) < U(f)+\frac{\epsilon}{2} \ \ \  \text{ ve } \ \ \   L(f)-\frac{\epsilon}2<L(f;R)$$ eşitsizlikleri sağlanır. $P$ parçalanışı $Q$ ve $R$ parçalanışlarının bir inceltmesi olsun. Bu durumda $U(f;P)\le U(f;Q)$ ve $L(f;R)\le L(f;P)$ eşitsizlikleri sağlanır ve \begin{align*}U(f;P)-L(f;P) &\le U(f;Q)-L(f;R)\\[10pt] &< \left(U(f)+\frac{\epsilon}{2}\right)-\left(L(f)-\frac{\epsilon}{2}\right)\\[10pt] &=\big(U(f)-L(f)\big)+\epsilon\\[10pt] &=\epsilon\end{align*} eşitsizliğini elde ederiz.

...