Sınırlı olma:
Maksimum-minimum savı gereği sınırlı ve kapalı aralık üzerindeki sürekli fonksiyonlar maksimum ve minimum değerlere sahiptir. Bu nedenle sınırlıdır.
Düzenli süreklilik:
Noktasal değil de genel bir bilgiye ihtiyacımız olduğundan $f$ fonksiyonunun sürekliliğinden daha güçlü olan düzenli sürekliliğini kullanacağız.
Sınırlı ve kapalı aralık üzerinde sürekli olan fonksiyonlar düzenli sürekli de olurlar.
$\epsilon >0$ verilsin. $f$ fonksiyonu düzenli sürekli olduğundan, öyle bir $\delta>0$ değeri vardır ki $x\in[a,b]$ ve $|x-y|< \delta$ sağlandığında $$|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{b-a}$$ eşitsizliği sağlanır.
Deltaya uygun bir parçalanış seçme:
$n>\frac{b-a}{\delta}$ olmak üzere eş parçalara ayrılmış, aralıklardan oluşan $P=\{I_1,\cdots, I_n\}$ parçalanışını alalım. Bu durumda her $1\le k\le n$ tam sayısı için $$|I_k|=\frac{b-a}n<\delta$$ eşitsizliği sağlanır.
Maksimum-minimum ile supremum-infimum ilişkilendirme:
$1\le k\le n$ tam sayıları için $f$ fonksiyonunun sınırlı ve kapalı aralık $I_k$ üzerindeki kısıtlanışı da maksimum ve minimum değerini içeririr. Bu nedenle öyle $x_k,y_k\in I_k$ değerleri vardır ki $$f(x_k)=\max_{I_k}f=\sup_{I_k}f \ \ \ \text{ ve } \ \ \ f(y_k)=\min_{I_k}f=\inf_{I_k}f$$ eşitlikleri sağlanır.
Epsilon ile ilişkilendirme:
$1\le k\le n$ tam sayıları için $|x_k-y_k|\le |I_k|<\delta$ olduğundan $$\sup_{I_k}f-\inf_{I_k} f=f(x_k)-f(y_k)<\frac{\epsilon}{b-a}$$ eşitsizliği sağlanır.
Cauchy integrallenebilme kıstasına uygun hale getirme ve sonuç:
Elde ettiğimiz eşitsizlikleri kullanırsak\begin{align*}U(f;P)-L(f;P)&=\sum_{k=1}^n\sup_{I_k}f\cdot |I_k|-\sum_{k=1}^n\inf_{I_k}f\cdot |I_k|\\[10pt]&=\sum_{k=1}^n(\sup_{I_k}f-\inf_{I_k}f)\cdot |I_k|\\[10pt]&<\frac{\epsilon}{b-a}\cdot \sum_{k=1}^n|I_k|\\[10pt]&=\epsilon\end{align*} eşitsizliği sağlanır ve Cauchy integrallenebilme kıstası gereği $f$ fonksiyonu Darboux integrallenebilir.