Sınırlı olma:
$f$ fonksiyonu Darboux integrallenebilir olduğundan sınırlı bir fonksiyon olmalıdır. $f$ fonksiyonu sınırlı bir fonksiyon olduğundan bir $M$ pozitif gerçel sayısı vardır ki her $x\in[a,b]$ değeri için $$|f(x)|\le M$$ eşitsizliği sağlanır.
Sürekli olma:
$c\in[a,b]$ olsun ve $\epsilon >0$ verilsin. $\delta=\epsilon/M>0$ seçimini yaparsak $x\in [a,b]$ ve $|x-c|<\delta$ sağlandığında\begin{align*}|F(x)-F(c)|&= \left|\int_a^xf(t)dt-\int_a^c f(t)dt\right|\\[10pt]&=\left|\int_c^x f(t)dt\right|\\[10pt]&\le |x-c|\cdot M \\[10pt]&<\delta \cdot M\\[10pt]&=\epsilon\end{align*} eşitsizliği de sağlanır.
f fonksiyonu bir c noktasında sürekli ise:
$f$ fonksiyonu $c$ noktasında sürekli olduğundan verilen $\epsilon>0$ için öyle bir $\delta>0$ vardır ki $x\in [a,b]$ ve $|x-c|<\delta$ sağlandığında $$|f(x)-f(c)|<\epsilon/2$$ eşitsizliği sağlanır.
F fonksiyonu ile ilişkilendirme ve sonuç:
Devam edersek $c+h\in[a,b]$ ve $0<|h|<\delta$ olduğunda \begin{align*}\left|\frac{F(c+h)-F(c)}{h}-f(c)\right|&=\left|\dfrac{\displaystyle\int_a^{c+h}f(t)dt-\int_a^cf(t)dt}{h}-f(c)\right|\\[10pt]&=\left|\frac1h \int_c^{c+h}f(x)dx-f(c)\right|\\[10pt] &=\left|\frac1h \int_c^{c+h}f(x)dx-\frac1h \int_{c}^{c+h}f(c)dx\right|\\[10pt]&=\frac1{|h|} \left| \int_c^{c+h}\left(f(x)-f(c)\right)dx\right|\\[10pt]&\le \frac1{|h|} \cdot (|h|\cdot \epsilon/2)\\[10pt]&<\epsilon \end{align*} eşitsizliğini elde ederiz. Bu da bize isteneni verir.
________________________________
Ek: Lipschitz sürekli olma:
$x,y\in [a,b]$ olmak üzere $M$ pozitif gerçel sayısı için $${\color{blue}{|F(x)-F(y)|}= \left|\int_a^xf(t)dt-\int_a^y f(t)dt\right|}=\left|\int_y^x f(t)dt\right|\color{blue}{\le M\cdot |x-y|}$$eşitsizliği sağlanır ve $F$ fonksiyonu $[a,b]$ üzeride Lipschitz sürekli olur.