Kosinüs için alt ve üst sınır:
Her gerçel $\theta$ için $-1\le \cos\theta \le 1$ olduğundan sıfır olmayan $x$ gerçel sayıları için $$-1\le \cos(x^{-1}) \le 1$$ eşitsizliği sağlanır.
Üssel fonksiyon için sınır:
Gerçel sayılarda tanımlı kuralı $2^x$ olan fonksiyon artan olduğundan, üst eşitsizliği kullanırsak, $$2^{-1}\le 2^{\cos(x^{-1})}\le 2^1$$ eşitsizliği sağlanır.
İç fonksiyonun mutlağı için sınır:
$x$ sıfır olmayan bir gerçel sayı ise, mutlağı pozitif olur ve üst eşitsizlik ile, $$\frac12|x| \le \left|x\cdot 2^{\cos(x^{-1})}\right| \le 2|x|$$ eşitsizliği sağlanır.
Uç fonksiyonların limiti:
Mutlak değer fonksiyonu sürekli olduğundan $$\lim\limits_{x\to 0} \frac12|x|=\frac12\cdot |0|=0\ \ \ \text{ve } \ \ \ \lim\limits_{x\to 0} 2|x|=2\cdot |0|=0$$ eşitlikleri sağlanır.
Sıkıştırma Savını kullanma:
Mutlak değerli eşitsizlikteki uç fonksiyonlarının limiti eşit olduğundan, sıkıştırma savı gereği, ortadaki fonksiyonun limiti de aynı sayıya eşit olur; yani $$\lim\limits_{x\to 0} \left|x\cdot 2^{\cos(x^{-1})}\right|=0$$ eşitliğini elde ederiz.
Mutlaktan kendisine:
Mutlağının limiti sıfır olan fonksiyonların limitleri de sıfır olur. Bu nedenle $$\lim\limits_{x\to0}\left(x\cdot 2^{\cos(x^{-1})}\right)=0$$ eşitliği sağlanır.