$\cos(\pi+x^2)$ yerine $-\cos x^2$ ve $0/0$ belirsizliğine sahip limit için bir kere L'Hôpital uygulayalım. $0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ olduğunu kullanabilecek şekilde düzenleyelim ve limit değerini bulalım. Bu yol ile eşitliğini sonuca ulaşabiliriz. Bu yol ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0} \frac{\cos(\pi+x^2)+1}{x^4}\ &= \ \lim\limits_{x\to 0} \frac{-\cos x^2+1}{x^4} \\[15pt] &\stackrel{l'h}{=} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{2x\cdot \sin x^2}{3x^3}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x\to 0}\left(\frac23\cdot \frac{\sin x^2}{ x^2}\right)\\[15pt] &= \ \frac23\cdot 1\\[15pt] &= \ \frac23\end{align*} eşitliğini elde ederiz.