Biriciklik göstermek için genel bir yöntem:
$f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limit değerleri kümesine $S$ diyelim. $f$ fonksiyonunun $a$ noktasında bir limit değeri var olduğundan $S$ kümesi boşküme değildir. Amacımız bu kümenin bir elemanlı olduğunu göstermektir. Bunun için $S$ kümesinden herhangi iki eleman alalım ve bu iki elemanın eşit olduğunu gösterelim.
İki değerin eşit olduğunu göstermek için bir yöntem:
Bilgi: $a$ bir gerçel sayı olsun. Her $\epsilon>0$ için $|a|<\epsilon$ sağlanırsa $a=0$ olur.
Bilginin kullanışı:
$a$ ve $b$ gerçel sayılar olsun. Her $\epsilon>0$ için $|b-a|<\epsilon$ sağlanırsa $b=a$ olur.
İspat:
Diyelim ki $L$ ve $M$ gerçel sayıları $f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limit değerleri olsun. Bir $\epsilon>0$ alalım.
$f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki bir limit değeri $L$ olduğundan, limit tanımı gereği, $\epsilon/2>0$ (seçimi) için öyle $\delta_1>0$ değeri vardır ki $0<|x-a|<\delta_1$ ve $x\in A$ olduğunda $$|f(x)-L|<\epsilon/2$$ eşitsizliği sağlanır.
Benzer bir şekilde $f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki bir limit değeri $M$ olduğundan, limit tanımı gereği, $\epsilon/2>0$ (seçimi) için öyle $\delta_2>0$ değeri vardır ki $0<|x-a|<\delta_2$ ve $x\in A$ olduğunda $$|f(x)-L|<\epsilon/2$$ eşitsizliği sağlanır.
$\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}>0$ olarak tanımlayalım. Bu tanım ile $0<|x-a|<\delta$ ve $x\in A$ olduğunda $$|f(x)-L|<\epsilon/2 \;\;\;\text{ ve }\;\;\; |f(x)-M|<\epsilon/2$$ eşitsizlikleri sağlanır. Dolayısıyla $0<|x-a|<\delta$ ve $x\in A$ olduğunda \begin{align*}|L-M|&=\left|\left(L-f(x)\right)+\left(f(x)-M\right)\right|\\[7pt] &\le |f(x)-L|+|f(x)-M|\\[7pt] &<\epsilon/2+\epsilon/2\\[7pt] &=\epsilon\end{align*} eşitsizliği sağlanır.
Verilen her $\epsilon>0$ için $|L-M|<\epsilon$ olduğundan $L-M=0$ olmalıdır; yani $L=M$ sağlanmalıdır.