Logaritma alma:
$1^\infty$ belirsizliği var. Bu belirsizliği $0/0$ belirsizliğine çevirmek için fonksiyonun logaritması ile ilgilenelim. Logaritma aldığımızda, sıfırın pozitif yöndeki bir civarında \begin{align*}\ln \left(\dfrac{2}{\pi}\arccos x\right)^\dfrac{\pi}{\sin x}\ &= \ \dfrac{\pi}{\sin x}\cdot\ln \left(\dfrac{2}{\pi}\arccos x\right)\\[15pt] &= \ \dfrac{\pi\cdot\ln \left(\dfrac{2}{\pi}\arccos x\right)}{\sin x}\end{align*}eşitliğini sağlanır.
Logaritmasının limiti:
$0/0$ belirsizliği var. Bu belirsizliği gidermek için l’Hôpital uygulayalım. \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0^+}&\dfrac{\pi\cdot\ln \left(\dfrac{2}{\pi}\arccos x\right)}{\sin x}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\pi\cdot\left(\dfrac{2}{\pi}\cdot -\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\right) \cdot\left(\dfrac{2}{\pi}\arccos x\right)^{-1}}{\cos x} \\[15pt] &= \ \dfrac{\pi\cdot\left(\dfrac{2}{\pi}\cdot -\dfrac1{\sqrt{1-0^2}}\right) \cdot\left(\dfrac{2}{\pi}\cdot \dfrac\pi2\right)^{-1}}{\cos 0} \\[15pt] &= \ -2\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Sonuç:
$\exp$ fonksiyonu sürekli olduğundan, özel olarak $−2$ noktasında sürekliolduğundan, \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\dfrac{2}{\pi}\arccos x\right)^\dfrac{\pi}{\sin x}\ &= \ \lim\limits_{x\to 0^+}\exp \left[\ln \left(\dfrac{2}{\pi}\arccos x\right)^\dfrac{\pi}{\sin x}\right]\\[15pt] &= \ \exp\left[ \lim\limits_{x\to 0^+}\ln \left(\dfrac{2}{\pi}\arccos x\right)^\dfrac{\pi}{\sin x}\right]\\[15pt] &= \ \exp(-2) \\[15pt] &= \ e^{-2} \end{align*} eşitliğini elde ederiz.