Logaritma alma:
$1^\infty$ belirsizliği var. Bu belirsizliği $0/0$ belirsizliğine çevirmek için fonksiyonun logaritması ile ilgilenelim. Logaritma aldığımızda, $x>1$ gerçel sayıları için \begin{align*}\ln \left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^{\sqrt{x^2+1}}\ &= \ \sqrt{x^2+1}\cdot\ln \left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)\\[15pt] &= \ \dfrac{\ln \left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)}{\left(x^2+1\right)^{-1/2}}\end{align*}eşitliğini sağlanır.
Logaritmasının limiti:
$0/0$ belirsizliği var. Bu belirsizliği gidermek için payı $\ln(x+1)-\ln(x-1)$ olarak yazalım ve l’Hôpital uygulayalım. İfadeyi düzenleyelim ve pay ile paydayı $x^3$ ile bölerek limit değerini bulalım. Bu yol ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)}{\left(x^2+1\right)^{-1/2}}\ &= \ \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\ln(x+1)-\ln(x-1)}{\left(x^2+1\right)^{-1/2}} \\[15pt]&= \ \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{(x+1)^{-1}-(x-1)^{-1}}{-\frac12\left(x^2+1\right)^{-3/2}\cdot 2x} \\[15pt]&= \ \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{2\left(x^2+1\right)^{3/2}}{x\cdot (x+1)\cdot (x-1)}\\[15pt]&= \ \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{2\left(1+x^{-2}\right)^{3/2}}{(1+x^{-1})\cdot (1-x^{-1})} \\[15pt] &= \ \dfrac{2\cdot \left(1+0\right)^{3/2}}{(1+0)\cdot (1-0)} \\[15pt] &= \ 2 \end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Sonuç:
$\exp$ fonksiyonu sürekli olduğundan, özel olarak $2$ noktasında sürekliolduğundan, \begin{align*}\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{\sqrt{x^2+1}}\ &= \ \lim\limits_{x\to \infty}\exp \left[\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{\sqrt{x^2+1}}\right]\\[15pt] &= \ \exp\left[ \lim\limits_{x\to \infty}\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{\sqrt{x^2+1}}\right]\\[15pt] &= \ \exp(2) \\[15pt] &= \ e^{2} \end{align*} eşitliğini elde ederiz.